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de  l’ Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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P=C — a E und  Q=\E. 
p-t-q-i-r= cos  i (a — A)  -t-cos  |c= 2cos|(a-+-c  — b)cos\ (b-t-c — a), 
Führen  wir  jetzt  die  Werthe  für  die  Bestandteile  des  ehe-  g-+-r-jp=cos|c—  cos±{a+b)—2sin\[a+b-*-c)Bm{{a-+-b-c), 
nen  Dreieckes  in  die  bekannten  Formeln  der  ebenen  Trigo-  p-+-r— ÿ=cos|c-+-cos|(a-+-6)=2cos^(a-4-6-*-c)cos|(a-i-6 — c), 
nometrie 
sin  P = — V{p-*-q+r)  (g-i-r-p)  (p-t-r— q)  p-t-g— r), 
sin  0 =2^V(p-4-?H-r)  (g-t-r-p)  (p-t-r— g)  (pn-g— r). 
cos 
2 pr 
j2-t-r2 — p2 
2 gr 
92-t-r2- 
2pr 
p-t-g — r=cos|  (a — A)  — cosAc=2sin|(oM-c — b)  sinA(A-i-c— a), 
daher  (p-l-g-i-r)  [q-i-r  —p)  (p-t-r  — q)  (p-t-g  — r) 
sin| (a-t-A-t-c)sin A(A-t-c — a)sinA  (a-t-c — b)  sin|(a-t-A  — c) 
und 
g2-t-r2 — p2—cos  i c2  — (cos  A «t2cos  A A2 — sin  A a2sin  A A2) 
=cos  I c2— cos  A (a-t-A)  cos  A (a — A) 
1 -t-cos  c — cos  a — cos  6 
, P = -]Ap~t~r~q)  (P-*-?— r) , cin  1 jO—  p)  (p-+-g- 
4gr  5 2 ^ 4pr 
■lfe:T /^***^f**^>.  ,„„1 
2 4gr  2 4pr 
ein  , und  berücksichtigen  dabei , dass 
p2-l-r2 — q2=cos  A c2-t-(cos  A a2  cos  | A2 — sin  * a2  sin  A A2) 
=cos  a c2-t— cos  a (a-+- A)  cos  A (a  — A) 
. „ ,,  1— i-cos  a-i-cos  6-t-cos  c 
=cos  Ac2-t-cos  a er — sin  a A2— ^ — j 
so  erhalten  wir 
sin  (C — \ E): 
Vsini(a-t-A-t-c)sinA(A-t-c  — «)sinA(a-t-c  — A)sinA  (a-t-A — c), 
(3) 
(t) 
2sin^asinj  Acos^c 
2cos  j acos  j écosse  ' Vsin | (a-t-A-t-c)sin  a (A-+-e— a)sin i (o+e- 6)sin  A (a-t-A— c), 
cos  c — cos  a — cos  b 
4 sin  | a sia  ^ 6 cos  J c 
1 -f-  cos  a -+-  cos  b h-  cos  c 
4 cos  j a cos  | 6 cos  | c ’ 
• / 1 i r« -i/cos  J(a-t-6-i-c)sin  |(6h-c — o)sin  ± (a-i-c  — 6)cos  |(o-i-&  — c) 
2 * sin  j a sin  1 6 cos 
. j ^ -j/sin  5 (a-i-6-i-c)sin  5 (6-t-c  a)sin  5 (a-i-c— 6)sin  5(a-i-&  — c) 
4 cos  j a cos  5 6cos  I c 
, „ -i/sin  j(a-i-6-»-c)cosH6-i-c  — a)cos|(a-f-c — ölsinHa-t-A — c) 
(COSkC  — io)=  F 7-7 —TT Ï ■’ 
2 * sin  ) asm  Î 6cos  j c 
j -j//cos5(o-i-6-i-c)cos5(&-i-c  — a)cos((a-i-c — 6) cos 5(0-1- 6 — c) 
4 cos  ^ a. cos  5 6. cos  j c 
Aus  den  letzten  beiden  Formels ystemen  erhalten  wir  endlich  durch  Division  die  eleganten  Ausdrücke: 
! tg<4C-  4E)  = 1 •«>  'S'.;»"  «Ejj , 
(5) 
tgi(a-*~6_HC)  tg£(a-t-6 — c) 
z E=~]/tgç  (a-t-A-t-c)  tg£  (A-t-c — a)  tg|  (®+c — A)  tgA  (a-t-A  — c). 
liunerliung>  Aus  den  Formeln  (5)  ergiebt  sich 
tang(|C  — {E)  = 
tang  5 (6-hc  — o)  tang  5 (o-f-c — 6) 
tangjE 
und  durch  Vertauschung  der  Buchstaben 
tan;  (■  B-\E)  = '^±zÉ, 
0 V2  4 1 tang 5 E 
so  wie 
lang  (l  A - 4 E) = “"8  1 > (-*- 6 ~ c>. 
b'2  4 ; tang|£ 
Hieraus  leitet  man  folgendes  Verfahren  ab,  um  aus  den 
drei  Seiten  eines  sphärischen  Dreieckes  die  Winkel  desselben 
zu  berechnen: 
Man  bestimmt  zunächst  vermittelst  der  zweiten  Formel  un- 
ter (5)  die  Grösse  \ E und  vermittelst  der  darauf  folgenden 
Formeln  die  Winkel  A,  B und  C. 
Als  Contrôle  für  die  Richtigkeit  der  Rechnung  hat  man 
alsdann 
A h-  B-i-C—  180°  = E. 
