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Bulletin  physlco  - mathématique 
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dra  quelques  rayons  négativement,  si  le  centre  de  la  courbe 
se  trouve  hors  du  polygone. 
Mais  il  y a plus;  les  surfaces  des  triangles  ayant  pour  base 
la  corde  de  contact  et  leurs  sommets  aux  centres  de  la  courbe 
et  du  focal,  ne  contiennent  aussi  de  variable  que  le  rayon. 
ab2k  ak*  , . 
-s- , —y—  , telles  en  sont  les  expressions  respectives. 
Donc  la  surface  d’un  polygone  inscrit  est  égale  à 
ab% 
en  fonction  des  rayons  relatifs  aux  divers  côtés. 
A-3 
— mesure  laire  du  second  des  triangles  précédents,  qui 
P 
existe  seul  dans  la  parabole.  Donc  les  surfaces  des  polygones 
circonscrit  et  inscrit  seront 
tf—k't—k"3  — 
‘ 3 p 
3p 
(**  - k '3  - k"3 . . .). 
§ a. 
3)  Le  segment  et  le  secteur  engendrés  par  une  corde  ne 
dépendent  que  du  rayon  focal  correspondant.  En  effet,  la 
cercle  touche  son  enveloppe  en  son  milieu;  et,  d’après  un 
théorème  consigné  dans  le  Mémoire  sur  la  stabilité  des  corps 
flottants  de  M.  Charles  Dupin,  on  sait  que  la  corde  d’une 
courbe  touchée  par  son  enveloppe  en  son  milieu  y détache 
un  segment  d’aire  constante.  Examinons  séparément  chaque 
espèce  de  coniques. 
Ellipse.  Prenons,  sur  le  cercle  principal,  les  points  de 
même  abscisse  que  ceux  où  la  corde  coupe  l’ellipse.  Leur 
distance  sera  —a*L » ce  qui  donne  pour  Tare  soustendu, 
Yb2-+-k2  1 1 
k k 
arc  sin  ■ * ou  arc  tang  —•  Le  secteur  circulaire  vaut 
Yb2+k2  0 b 
a arc  tang  ^ Donc  le  secteur  elliptique  vaudra  ab  arc 
tang  : on  l’obtiendrait,  du  reste,  aisément  par  l’équation 
i • 2 a262  ■ , - 
polaire  o£  = — — — - , en  integrant 
s a2  — c2  cos2cj  ° 
a262  r du 
2 Ja2  — c2cos2o  2 
d(2o) 
Or  on  a : 
(1  -t-  cos  2co) 
r dx  2 / i/A- «-1.  * \ 
Ja  — cosx  yA2  _ J \ b a — 1 0 2/ 
la  substitution  de 
2 — 
2a  k x et  de  — ^ — à A fournit-,  ab  arc  tang  tang 
On  en  conclut  que  le  segment 
: ab  X arc  tang  — — 
ab2k 
b2-*-  k2 
Hyperbole.  L’aire  du  triangle  mixtiligne  compris  entre 
Taxe  transverse,  un  arc  d’hyperbole  et  le  rayon  vecteur  qui 
aboutit  à son  extrémité  ( x , y),  s’exprime  par 
ab.  x-r-Yx2 — a 2 , bx'-t-ay' 
S ‘"g  =lo*— 5» 
Un  secteur  hyperbolique  sera  toujours  la  différence  ou  la 
somme  de  deux  triangles  mixtilignes;  son  aire  aura  donc  la 
j.  ab  , bx  +aj/ 
forme  — log  r-y? rr 
9 ° hnr  — nu 
De 
on  tire 
bx'  - 
■ay 
aßk  — 6*« 
A2 -62  ’ 
b2 a -(-aßt 
~~  hïY-b2~ 
b — k 
, b 2 (Aa  — aß) 
y a (k2 — b2)  * 
il  b2  ( aß  -t-ka) 
y A2  — b2  ’ 
bx"-t-ax''  b-t-k 
Conséquemment,  il  vient  pour  Taire 
du  secteur,  y log  qui  se  déduirait  du  secteur  ellip- 
tique en  y remplaçant  b par  bV  — 1,  et  remarquant  que,  d’a- 
près la  formule  de  Jean  Bernoulli 
A 
ârc  tang  (^ÿ==)  = £ÿ=j  ’“S  ^ 
ou  de  l’équation  polaire  en  faisant  usage  de  l’intégrale 
r dx  2 / i/A—i  x\ 
= ;,*-ï arc  (lan«  = tan«  t)- 
Nous  avons  supposé  le  secteur  tout  entier  renfermé  dans 
un  angle  asymptotique.  S’il  en  était  autrement,  on  appelle- 
rait secteur  hyperbolique  la  somme  ou  la  différence  des  secteurs 
déterminés  par  les  points  de  chaque  branche  et  les  sommets 
correspondants,  selon  que  ces  points  seraient  situés  au  dessus 
et  au  dessous  à la  fois,  ou  Tun  au  dessus  et  l’autre  au  des- 
sous de  Taxe  transverse.  Afin  d’éclaircir  le  senoode  cette  con- 
vention, je  choisirai  deux  points  au  dessus  de  Taxe:  Tun  des 
secteurs  auxiliaires  est  ^ log  a^'+~ba  y et  l’autre , situé  à 
2 ° a (6-hA) 
gauche,  — ^ log  Ainsi  leur  somme,  c’est-à-dire  le 
a (A- 
secteur  total,  sera  y log  Le  segment 
ab  . ~ b — A ab2k 
= ¥ °"  6-hA  ~ b2  — A2 * 
Parabole.  Le  segment  que  détache  une  corde  est  égal 
à?i3. 
3p 
4)  Les  rayons  focaux  des  sommets  d’un  polygone  circon- 
scrit, convexe  ou  non,  ont  entre  eux  une  relation.  Car,  ayant 
