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de  l'Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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des  points  en  nombre  quelconque  sur  une  conique  à centre, 
puisque  le  secteur  dont  la  base  renferme  toutes  les  autres 
vaut  leur  somme,  je  puis  écrire. 
i 0 arc  tang  = arc  tang  y -+-  arc  tang  y+ 
k Æ ( k’  k" *  * 
ou  — = tang  jarc  tang  — -t-  arc  tang 
2° 
, u— k , 6 — 6 
k-b  k'-b 
l0&^  = l0S  £7— T-ï-ÏOg 
b—k" 
b-¥-k" 
b — k" 
b-t-k" 
quand  les  points  n’appartiennent  pas  à la  même  branche. 
S’agit  il  du  polygone  convexe  circonscrit  à l’ellipse?  On  a 
k k'  krr 
arc  tariff  — -+-  arc  tang  — arc  tang  --  -i 
b b b 
— 27 r 
tang  (arc  tang 
....)  = 0. 
Je  dois  mettre  dans  la  formule: 
tang  (a1  +«2  + 11,  + ..,) 
-Etang a1  — £tangaitanga2langa3-i-...  k k' 
1 — L tang  tang  a2-+-. . . b*  b 
au  lieu  de  tang  a1 , tang  a2  . . et  j’ai  d’abord: 
ri  k k k k 
Ph__sT~s  ~w~ -■■■■ 
• b ‘ 
Puis 
k k k k 
L b b3 
= 0 
bm  - 1 (Zi'—  k)  — bm~3  [Ek'k"k'"  — kEk'k') . . . 
±kEm_ik'k".  ..=  0 
bm~x  ( Ekf  — k ) — bm~3  {Ekk'k"  — kEk'k") . . . 
± Emk  k'k" . . . = 0 
si  le  nombre  des  sommets  m est  impair; 
( bm  ~ 2 {Ekr  — k)  — bm-4  [Ek'li'k'"  — kEk'k") . . . 
± Em  _ j k’k" ...  — kEm  _ 2 k'k" . . . = 0 
bm  - 2 (Zi'  — k)  -bm~4  (Ek'k'k'"—  kEk'k") . . . 
± Em_lk  k'k" . . . = 0 
s’il  est  pair. 
L’égalité  logarithmique  devient: 
6-*-6  6 — k'  b — k' 
b-i-k  b-t-h'  b-+-k" 
b (6— 6’)  (6  — 6").  .-+-(6-i-6') (b-t-k"). .. 
°U  6 ^ (b-t-k')  n-6") (6  — 7c')  (6-1-6") . . . ' 
Et  de  là 
bn—l(Ek'-k)+bm-2  {Ek'k"k"'~kEk'k")...kEm_lk'k"...—0 
pour  m impair; 
pour  m pair. 
Evidemment,  dans  la  parabole,  k = k'  -+-  k"  -+- . . . 
5)  Les  présentes  relations  acquièrent  beaucoup  d’impor- 
tance lorsque  la  figure  est  un  triangle.  Alors 
b2  ( k + k H—  k ) =r  k k k 
ou  - b2  (k  — k'  — k")  = k k'k" 
pour  l’ellipse  ; et 
b 2 (k'  -+-  k"—  k)  = k k'k"  ou  b2  [k'~ *-k-  k" j = k k'k" 
pour  l’hyperbole.  De  sorte  que  la  surface  du  triangle  circonscrit 
prend  la  forme  p étant  le  demi-paramètre,  forme  con- 
venant aussi  à la  parabole,  vu  que 
63  —le'3  - k'3  _ (6'-h6  )3  - 6'3  — k"3 lek'k" 
3 P 3 p p 
La  surface  du  triangle  inscrit  se  simplifie  également,  car 
on  verra  que  si  b2  [k  -+-  k'  -+-  k")  = k k'k''  le  produit  [b2  -i-  k2) 
{b*  -+.  k'2)  ( b 2 -i-  k"2)  = b 2 [kk'  h-  k'k'  -*-  kk"—  b2)2  ; et , si 
b2  ( k - k'  — k")  = k k'k ",  [b2  k2)  (b2  k'2)  ( b 2 -+-  k"2)  == 
b2  [kk’  -*-kk"  — k'k"—  b2)2 
D'où 
ab2  ( k w- — -t-  k"  „ \ 
2a66'6" 
\62-h/é2  b2-t-kf2  b2  -*-k2/ 
66'  -+-  le'k"-t-  kk" — b2 
ab2  ( k k'  k"  \ 
l ’iakk'k " 
\62h-6*  b2  -+-6'2  62H-6'2j 
66'-+- 66" — k'k"-t-bz 
chose  analogue  dans  l’hyperbole. 
La  démonstration  du  théorème  suivant  se  fera  sans  la 
moindre  difficulté. 
Théorème.  La  tangente  qui  intercepte,  dans  un  angle 
circonscrit  à une  section  conique,  la  surface  maximum  ou  mi- 
nimum (selon  qu’elle  laisse  la  courbe  au  dessus  ou  au  des- 
sous) est  celle  que  son  point  de  contact  divise  en  deux  parties 
égales. 
Il  est  clair,  en  outre,  que  les  points  de  contact  des  tan- 
gentes parallèles  à une  corde  sont  les  sommets  de  triangles 
maximum  et  minimum,  parmi  tous  ceux  qui,  inscrits  dan6  la 
courbe,  s’appuient  sur  cette  corde.  * 
Donc  1°  la  surface  polygonale  interceptée  par  un  nombre 
quelconque  de  tangentes  entre  deux  tangentes  fixes  est  maxi- 
mum ou  minimum  , quand  les  sommets  variables  ont  tous 
même  rayon  focal. 
Particulièrement, le  polygone  circonscrit  est  minimum  quand 
les  sommets  ont  tous  même  rayon. 
2°  la  surface  polygonale  inscrite  dans  un  segment  fixe  est 
maximum  ou  minimum,  quand  les  cordes  variables  ont  toutes 
même  rayon  focal. 
Particulièrement,  le  polygone  inscrit  est  maximum  quand 
les  cercles  focaux  de  ses  côtés  ont  le  même  rayon. 
