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Bulletin  physieo  - mathématique 
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De  plus,  la  valeur  unique  du  rayon  focal,  en  fonction  des 
éléments  de  la  conique  et  du  nombre  des  côtés,  se  déduit  de 
la  relation  ci-dessus.  Faisons  y 
. k 
arc  tang  — 
ft'  = k"=  k'" . . . il  vient  k,  =b  tang  
1 ° \ m 
ou 
kt=b  tang 
2* 
m 
et 
K 
(b  H-  k)  I_(&  — Ä)  A 
m ' m 
(b  + k ) - — i-  [b  — k ) — 
v ' m ' m 
dans  chacun  des  trois  cas. 
Remarque.  La  ligne  polygonale  inscrite  d’aire  maxi- 
mum ou  minimum  satisfait  à ce  problème:  Inscrire  dans  un 
segment  m cordes  consécutives  détachant  des  segments  équi- 
valents. 
§ 3. 
6)  Jusqu’ici  nous  avons  rapporté,  pour  évaluer  le  rayon 
focal,  les  courbes  à des  coordonnées  tout-à-fait  particulières. 
Servons-nous  à présent  de  coordonnées  quelconques,  en  rap- 
pelant au  préalable  quelques  formules  générales. 
Soit  Ay2  -t-  Bxy  -+-  Cx2  - 1-  Dy  -t-  Ex -a-  F = 0 l’équation 
des  courbes  du  second  degré.  Je  poserai  m = B2  — 4 AC, 
L=AEl-BDE-*-CD2+(D2—kAC)F,  N=A  — Bcosy-t-C, 
y angle  des  axes. 
Les  carrés  des  demi-axes  principaux  ont  pour  valeurs 
(jVdz  y N2  -t-  msin2y). 
Soient  a,  ß les  coordonnées  d’un  point,  ( x\y '),  {x",  y")  celles 
des  points  où  sa  polaire  rencontre  la  courbe,  on  a- 
t " c\  2 Aß-t-Ba-t- /)  /__/  t a 0 Bß-t-QCa-i-E  rE,/ 
*-*=2-  t=^>  VLF<y -y  =~2  VLF> 
F'  = Aß2  -+-  Baß  -t-  Ca2  -A-  Dß  -t-  Ea  -A-  F. 
On  obtient  pour  le  sinus  de  l’angle  de  la  polaire  avec  son  diamètre  conjugué, 
[(ß  — v)  (2Aß-t-Ba-t-D)-A-(a — fi)  (Bß-t-UCa-t- E)~\  siny 
■/(ß—v)2-*-{a—ii) 2-*- 2 (ß—v)  (a— ti)  cosyY(Bß-A-l2Cu-t-E)2-t-(ZBß-A-ßa-*-D)2—2{Bß-t-ZCa-t-E)[l2Aß-*-Ba-i-D)cosy 
où  fi  et  v désignent  les  coordonnées  du  centre  de  la  courbe. 
Et  l’aire  du  quadrilatère  dont  les  diagonales  sont  la  corde  - polaire  et  la  distance  du  point  au 
centre,  égale 
t/t.f'  q — r-, 
[{2  Aß  -4 - Ba -a- D)  [ß  — v) -A-  ( Bß  -a- 2 Ca -t-  E)  (a  ~ fi )]  sin  y L_mp  = — sin  y VLF  . 
Par  conséquent 
ak  = -A  V LF1  sin  y ou  k2  . ^ (N -A-  ~\/N2  -A-m  sin2y)  = A $\nzyLF' 
- , 2 F'  sin2y 
ou  enun  k — — . 
N-a-  VN2  -+-  m sin  2y 
Si  m = 0,  cas  de  la  parabole,  ft2  — - AfAj.  Si  N=  0,  cas 
2 p' 
de  l’hyperbole  équilatère,  k 2 = sin2y. 
7)  Problème.  Construire  une  section  conique  dont  on 
donne  cinq  cercles  focaux. 
Soient  (x,  y),  [x,  y ) . . . les  coordonnées  des  centres  des 
cercles.  J’aurai  cinq  équations  de  la  forme; 
Ay2  -t-  Bxy  ■+■  Cx'2  H-  Dy  -+-  Ex  -+-  F=  çft2, 
N-t-V N2  -+•  ntsin2)> 
2sin2y 
J’en  tirerai  des  valeurs  de  — , — , ...  — contenant  k 2,  ft'2... 
AA  A 
x,y,x,y  •••,  et  -j  à la  première  puissance  seulement,  qui 
substituées  dans  2 sin2yp  = N -t-  Y N2  -t-  m sin2y  fourniront 
une  équation  du  second  degré  en  q résolvant  le  problème. 
Il  est  presque  superflu  d’ajouter  qu’il  suffit  de  quatre  cer- 
cles focaux  pour  l’hyperbole  équilatère  et  la  parabole.  Quant 
au  cercle , le  problème  revient  à tracer  un  cercle  orthogonal 
à trois  autres. 
8)  Tous  les  points,  centres  de  cercles  focaux  communs  à 
deux  sections  coniques,  seront  situés  sur  une  troisième  sec- 
tion conique  dont  l’équation  qF'  = qlFl'  s’écrit  immédiate- 
ment. Elle  passe  par  les  points  communs,  réels  ou  imagi- 
naires, aux  deux  premières.  Les  courbes  des  centres,  par  rap- 
port à trois  coniques  prises  deux  à deux,  se  couperont  aux 
mêmes  points;  on  le  conclut  de  leurs  équations  qF'  — ç1Fl> 
= 0,  - q2F2=0,  q2F2  — qF'  = 0. 
Lorsque  le  rapport  des  focaux  diffère  de  l’unité,  le  lieu  est 
encore  une  section  conique  passant  par  les  points  communs, 
