37 
de  l’ Académie  de  Saint-Pétersbourg, 
38 
réels  ou  imaginaires,  aux  proposées,  puisque  qF'  = Aç>1  F /. 
Réciproquement: 
Si  trois  coniques  ■passent -par  les  mêmes  points,  réels  ou  imagi- 
naires , les  rayons  focaux  des  points  de  l’une  relatifs  aux  deux 
autres , sont  dans  un  rapport  constant.  Théorème  qui  comprend 
celui-ci  énoncé  dans  la  Géométrie  supérieure  de  M.  Chasles; 
Si  trois  cercles  ont  un  même  axe  radical , les  tangentes  menées 
par  tous  les  points  de  l’un  aux  deux  autres  sont  dans  un  rapport 
constant. 
9)  Le  cercle  focal , quand  la  conique  se  réduit  à deux 
droites,  ayant  son  rayon  proportionnel  au  produit  de  leurs 
distances  au  centre;  et  les  côtés  opposés  d’un  quadrilatère 
inscrit  formant  avec  la  courbe  un  système  doué  de  quatre 
points  communs,  on  a ce  théorème  connu;  Les  produits  re- 
spectifs des  distances  des  points  d’une  conique  aux  côtés  opposés 
d’un  quadrilatère  inscrit  sont  entre  eux  dans  un  rapport  constant. 
Il  est  possible  d’assigner  au  rapport  des  focaux,  correspon- 
dants à deux  coniques,  une  valeur  telle  que  tous  les  points  y 
répondant  se  trouvent  sur  deux  droites.  Ce  sont  les  axes  de 
symplôse. 
Enfin  le  lieu  des  points  dont  les  rayons  focaux,  relatifs  à 
un  certain  nombre  de  coniques,  satisfont  à l’égalité  Lpk2  = v , 
est  une  section  conique.  Observons  que  les  axes  de  symptôse 
se  construiraient  bien  facilement,  si  les  deux  courbes  avaient 
un  foyer  commun.  On  se  convaincra,  en  effet,  que  les  cercles 
focaux  communs  ont,  alors,  leurs  centres  sur  deux  droites 
issues  du  point  de  rencontre  des  directrices  qui  correspon- 
dent à ce  foyer. 
«4. 
Applications. 
10)  Trouver  le  lieu  des  centres  des  coniques  assujetties  à 
toucher  les  trois  côtés  d’un  triangle,  et  dont  les  carrés  des 
axes  ont  une  somme  (algébrique)  donnée. 
Soit  A un  des  sommets  du  triangle  circonscrit  aux  diverses 
I coniques  ; par  une  évidente  transformation  , j’aurai  AO2  — 
a2  b2 — AF  AF'  cos  A,  en  supposant  qu’il  soit  question 
d’une  ellipse  dont  O.  F , F'  sont  le  centre  et  les  foyers;  a,  b , 
les  demi-axes.  Mais  2 ak=  AF  AF1  sin  A,  donc  ^402tang^4 
c=(a2-+-£>2)tang  A-t-2ak.  De  même  2?02tang2?=(a2-i-ô2)tangi? 
-t-  2ak’,  CO2 tang  C—  ( a 2 h-  b2)  tang  C-+-2ak":  dans  ces  équa- 
tions, k , k',  k"  désignent  les  rayons  des  cercles  focaux  ayant 
leurs  centres  aux  sommets  A,  B,  C du  triangle.  En  les  ajou- 
tant ensemble,  il  nous  viendra; 
AO 2 tang  A -t-  BO 2 tang  B -4-  CO 2 tang  C = 
{a2  b2)  (tang  A *+-  tang  B -t-  tang  C)  -i-  25  où  5 est 
la  surface  du  triangle;  égalité  qui  montre  que  le  lieu  demandé 
est  une  circonférence  de  cercle,  dont  le  centre  est  au  point 
de  rencontre  des  hauteurs J’ai  raisonné  sur  une  position 
spéciale  de  la  figure,  sans  nuire  à la  généralité;  on  prendrait 
soustractivement  une  des  égalités,  si  la  courbe  était  exin- 
scrite au  triangle. 
11)  Théorème  de  Steiner.  Le  carré  de  l’aire  d’une 
ellipse  inscrite  dans  un  triangle  est  égal  au  double  produit 
du  carré  du  rapport  de  la  circonférence  au  diamètre,  des 
distances  de  son  centre  aux  droites  qui  joignent  les  milieux 
des  côtés  et  du  diamètre  de  la  circonférence  circonscrite. 
Soient  k,  k,  k les  rayons  focaux  relatifs  aux  sommets; 
*,  h * les  angles  des  normales  avec  les  rayons  vecteurs,  a,  b 
les  demi-axes. 
k-t-k'  k-t-k"  k'-t-k" 
cos  i ’ cos  i"  ’ cos  i' 
représentent  les  côtés  du  triangle,  acosi,  a cos  %,  a cost' 
leurs  distances  au  centre  de  l’ellipse,  et 
^ a cos  i(k-t- k'-t-k")  2 a cos  i"  (It-t-  k'-t-k")  2 a cos  i' (k  -h  le'-*-  k") 
k-t-k'  ’ k-t-k " ’ ké-t-k"  ’ 
les  hauteurs.  Par  conséquent,  les  distances  du  centre  aux 
droites  joignant  les  milieux  des  côtés  seront 
acosi  (k-t-k' 
k-t-k' 
-k  ) . ak  cosi 
acosi  = - ~r 
k-t-k 
ak  ak'  ak 
OU  = — , — , — 
a ß y 
en  appelant  a,  /?,  y les  longueurs  de  ceux-ci.  Le  produit  de 
ces  distances  donne 
aHk'k"  aHk'k"  a2b2 
12)  Théorème  de  llac*eullagh.  Le  rayon  du 
cercle  circonscrit  à un  triangle  inscrit  dans  une  conique  est 
égal  au  produit  des  demi -diamètres  parallèles  aux  côtés,  di- 
visé par  le  produit  des  demi-axes  de  la  courbe. 
Chaque  côté  du  triangle  a pour  longueur  respective 
2 dk  2dV  2 d"k"  . 
yb2-t-k^  Yb2-t-k'2  ’ Vb2-t-k"2’ 
2d,  2d',  2d”  les  diamètres  définis  dans  l’énoncé.  Le  produit 
8 dd'd"kk'k"  8 dd'dkk'k" 
b (kk! -t~k'h"-t-kk" — b2)  °U  b (kk'  -t-kk" — t/k'-t-b2) 
selon  l’espèce  du  triangle.  Or 
2 akk'k" 
b2  (kk' -t-k'k"-t-ktl'  — b2) 
est  la  surface  du  triangle.  Donc 
4 as=«à.’.. 
ab 
Dans  la  parabole,  on  substituera  aux  diamètres  les  cordes 
focales  parallèles  aux  côtés. 
13)  Théorème  de  «Foachlmsthal.  Si  l’on  pro- 
jette, sur  les  rayons  vecteurs  des  points  où  elles  rencontrent 
la  courbe  à angle  droit,  les  portions  de  deux  normales  com- 
prises entre  ces  points  et  celui  de  leur  intersection  ; la  somme 
des  projections  est  constante  pour  les  cordes  parallèles. 
Soient  n,  n les  longueurs  des  normales;  fi,v  les  angles  de 
la  corde  avec  les  tangentes  à ses  extrémités.  Des  triangles 
