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Bulletin  pbysico  - mathématique 
rectangles,  on  tire;  iV=ntangï'  ou  ncosi=kco{gv,  n co si' 
= k colg  fi.  Alors  n cos  i n cos  % = k (cotg fi  -+-  cotg  v). 
Nommant  l la  corde,  h sa  distance  au  pôle;  cotg  p -+-  cotg v= 
-p  on  établira  que  -j-  k—f  (corde  focale  parallèle  à l)  par 
de  très  simples  calculs. 
H Cherchons  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour 
que  plusieurs  points  se  trouvent  sur  une  conique  homofocale 
à une  autre. 
Employant  la  notation  de  ci-dessus,  j’ai: 
4a2  = MF*  -i-  MF'2  — 2 MF.  MF'  cos  M. 
D’où  4a2  = {MF-+-  MF)2  — 4 MF  . MF' cos2 
4 a2  = MF — MF')2  -+-  kMF  . MF'  sin2  ~ . 
i 
Or  MF . MF'  = 2ak  sin  M;  donc  1°  si  k cotg  — '==  constante, 
tous  les  points  M seront  sur  une  ellipse  homofocale;  2°  si 
k tangp  = constante,  ils  seront  sur  une  hyperbole  homofo- 
cale. On  prouverait  aussi  que  ces  égalités  s’appliquent  à deux 
paraboles  confocales  et  de  même  axe.  Je  vais  les  utiliser  dans 
deux  exemples  remarquables. 
1°  Deux  points  d’une  ellipse  sont  dits  associés,  quand  son 
centre  est  à égale  distance  de  leurs  normales.  Pour  de  tels 
J b . 
points,  cos  % cos  i = — ? et  inversement. 
_ T ak 3 ...  , . , 
Nous  savons  que  -2  2 mesure  1 aire  du  triangle  ayant 
pour  sommets  les  extrémités  d’une  corde  et  le  point  de  con- 
cours des  tangentes  en  ces  extrémités;  aire  qui  se  mesure 
encore  par 
sinjf . A 2 ak 
~ 2 (b2-i-k2)  cos  i cos  i* 
= sin  M. 
Supposant  que  la  corde  unisse  des  points-associés,  j’ai 
26â 
sin'M  = 
b2-t-k2> 
i t M 
ou  k cotg  — 
■ b. 
Ainsi  les  pôles  des  cordes  unissant  deux  points-associés  appartien- 
nent à une  ellipse  homofocale;  ce  qui  fait  dériver  le  théorème 
de  Fagnano  du  théorème  de  M.  Chasles  sur  les  arcs  sem- 
blables ou  à différence  rectifiable. 
2°  Étant  donné  un  angle  fixe  circonscrit  à une  conique, 
mener  une  troisième  tangente,  de  manière  que  le  périmètre 
du  triangle  soit  maximum  ou  minimum. 
Ce  périmètre  étant  égal  à 
kk'k"  k'k"  ; 
m nïT,  W*  W m" 
tang  j tang  - tang  — tang  j tang  — 
devra  être  maximum  ou  minimum.  Donc 
. m'  ,11  t M". 
k cotg  Y = k cot&  y» 
les  deux  sommets  variables  seront  sur  une  conique  homo- 
focale. 
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Le  point  de  contact  divise  la  tangente  mobile  en  deux  seg- 
ments proportionnels  aux  rayons  focaux  de  ses  extrémités, 
et  par  conséquent  aux  cotangentes  des  moitiés  des  angles  cor- 
respondants. Alors  il  coïncide  avec  celui  du  cercle  inscrit  au 
triangle;  autrement,  pour  obtenir  ce  point  de  contact,  on  con- 
struira un  cercle  tangent  à la  courbe  et  aux  côtés  de  l’angle 
fixe. 
15)  Trouver  le  lieu  des  points  de  rencontre  des  normales 
aux  extrémités  d’une  corde  variable  dont  le  cercle  focal  est 
constant. 
Ellipse.  Soient  a,  ß les  coordonnées  du  pôle  de  la 
corde,  x , y celles  du  point  de  concours.  On  arrive  aisément 
aux  formules 
c2a  (b2 — j32)  c2|3  (a2  — a2) 
X~  a2  (62_h*27’  y a2  (b2-+-k2)  * 
Par  l’élimination  de  a et  ß entre  ces  équations  et 
a2ß2  -t-  b2a2  = a 2 {b2  -t-  k2), 
je  trouve 
[{b2  n-  k 2)  (a2x2  -+-  b2y2)  — b2c 4]  ± 
[(ô2  H-  k2)  [a2x2  bhf)  — c4  (k2  — b2)2] 
-+-  ac2xy  [(ô2  -t-  k2)  ( k 2 - 3 ô2)]  | = 0. 
Pour  4 = 0,  on  a la  développée  de  l’ellipse;  pour 
42  = 362,  a2x2 -t- b2yz  = ~ > 
lieu  des  points  de  rencontre  des  hauteurs  dans  les  triangles 
maximums. 
Posant 
a _____ 
ß = Y b2  -t-  k2  sin  ip,  a = y Vb2- 1-  k2  cos  ip 
c2 
j’ai  x = — — =—  cos  ip  U b2  -t-  k,2)  co  s2ip  — k2] 
J abVb2-t-k2  t r 
V = ,2  /Tür- Ti  sin  V»  — (J2  k2)  sin2^] 
b^yb^-t-k2 
formes  qui  serviront  à la  rectification  sur  laquelle  je  revien- 
drai ailleurs. 
Hyperbole.  On  peut  avoir  directement  ou  par  le 
moyen  de  la  précédente,  l’équation  qui  est; 
[(42  — b2)  [ a2x 2 — b2y2)  h-  62e4]  | 
[(42  — b2)2  (a2x2  — b2y2)  — c4  (42  -t-  62)2] 
-+-  aêxy  [(42  — b2)  [k2  -t-  3 b2)\  § = 0. 
Posant 
. a 
ß — Vk2  — b2 se  cxp , a — ]/42  — b 2 tang  ip  y > 
c2 
j’ai  : x — — abV^~=  tang  V»  [k2  ~ (**  - *2)  tang2^] 
y = — seci>)  ~~ (/c*  ” i2) 
Parabole. 
27 p*y2  = [p[x-p)-  2k2]2  [2  p [x—p)  — k2]. 
