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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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Aggr.  prim. 
N°  1. 
N°  2. 
N°  3. 
N°  4. 
N°  5. 
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Il  va  sans  dire  que  les  aggrégats  d’un  nombre  pair  2 N 
d’éléments  jouissent  de  la  même  propriété  que  ceux  de 
2N-t-  1 éléments  en  ce  qui  concerne  l'hypothèse  de  yJ,_1 
de  rang  pair.  Nous  verrons  plus  bas,  qu’outre  le  cas  que 
nous  venons  de  considérer,  il  en  existe  un  plus  général, 
celui  où  plusieurs  éléments  forment  une  période. 
Revenons  maintenant  à l’équation  (3).  Si  on  l’écrit  sous 
la  forme 
(2y,_1-1)  = 4iV-t-3-4.yr, 
et  qu’on  observe  que  2yv_l  — 1 ne  peut  être  que  positif , 
on  a 
2yv_l  - 1 = -+-  V (4iV-H  3 — 4yy}2, 
ou  bien,  simplement, 
2y,_l-l  = [4W-H3-*y1,], 
les  parenthèses  carrées  indiquant  que  la  quantité  qu’elles 
renferment  doit  être  toujours  prise  d'une  manière  absolue, 
c.-à-d.  positivement.  C’est  dans  ce  seul  sens  que  nous  em- 
ploierons ici  cette  espèce  de  parenthèse,  en  conservant  aux 
parenthèses  rondes  ( ) leur  signification  ordinaire.  Posant 
pour  abréger 
(4)  2yv  _ j — 1 =zy — lt 
on  trouvera 
\yv  = 2zv+2, 
et  par  conséquent  l’équation  précédente  se  présentera  sous 
cette  forme  très  simple 
(5)  zv — 1=2  - *„]• 
Enfin,  supposant 
(«)  **±*  = M, 
l'équation  (5)  donnera  successivement 
z0  = 2[M-zl] 
z1=2[M-z2\ 
z2  = 2\M-z3] 
Substituant  dans  la  première  de  ces  équations  les  valeurs 
successives  de  zl,  z2....  z ^ on  trouve  définitivement 
fl  fl- 1 fl- 2 2 1 1 2 fl-  2 fl- 1 ß 
(T)  z0=2[M—2[M — 2[M — ...— 2[M — 2[M—z/l\  ]...]  ] ] 
Soit  fi  le  nombre  de  transformations  qui  ramènent  l’elé- 
menty0,  pris  arbitrairement,  à sa  place  primitive;  on  aura 
yfl  = y0,  et  par  conséquent  aussi  z •=  z0  en  vertu  de  l’é- 
quation (4).  Si  donc  l’on  remplace  z^  par  zQ  dans  la  for- 
mule (7)  , et  qu’on  exécute  les  multiplications  successives 
par  2 en  suivant  l’ordre  1,2,  3 ....  ^ — 1,  « des  paren- 
thèses, on  verra  avec  un  peu  d’attention  que  l’on  parvient 
à un  résultat  de  la  forme  suivante: 
z0  = + 2 f*z0  zfc  (2^  zb  2^“  1 zfc  2^- 2 dz  . . . zfc  22  zt  2 )M, 
la  quantité  2^  zfc  21“"-  1 dz  . . . ziz  22  dt  2 contenant,  sans  ex- 
ception, toutes  les  puissances  de  2,  depuis  la  première  jus- 
qu’à la  jW-ième.  Enfin,  remettant  à la  place  de  M sa  valeur 
4 4 > donnée  par  la  formule  (6),  l’on  aura 
<§)  • «0  = 2^-1zt2^-2z±z2^-3  z!z...dz2ziz  1. 
4N- et  0 
Arrêtons  nous  sur  cette  équation.  Et  d’abord,  observons 
que,  puisque  zQ  peut  prendre  successivement  toutes  les  va- 
leurs impaires 
(9)  1, 3,  5, ....  42V—  1,  üN-t-1, 
parmi  les  quelles  il  y en  a plusieurs  qui  sont  premières  à 
4 iV— §—  1 , il  faudra  nécessairement,  pour  que  l’égalité  (8)  soit 
possible,  que  21“ -+- 1 ou  2^ — 1 soit  divisible  par  4 iV  — »—  1. 
Supposons  donc  que  fi  soit  précisément  l’exposant  minimum 
de  2 qui  satisfait  à cette  condition,  en  sorte  que  l’on  ait  la 
congruence 
2M  rJz  1 = 0 (mod.  4iVH-  1), 
ou  bien,  sans  ambiguité  de  signe, 
4^  — 1 = 0 (mod.  4 IV -ni). 
Cela  posé,  je  dis  que  le  nombre  cherché  de  transforma- 
tions sera  précisément  égal  à fi.  D’abord  , d’après  ce  qui 
précède,  ce  nombre  ne  peut  pas  être  inférieur  à fi , car,  en 
prenant  y0  = i,  et  par  suite  z0  = i,  ou  en  conclut  que 
21“  zh  \ 
4.Y-+-  1 
doit  nécessairement  être  entier.  Ensuite , pour  faire  voir  | 
qu’un  élément  quelconque  y0  se  trouvera  ramené  à sa  place  ; 
primitive  après  fi  transformations,  il  suffira  de  prouver  que 
