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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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l’on  peut  toujours  disposer  des  signes  ambigus  ± de  l’équa- 
tion (8)  de  manière  à satisfaire  à cette  égalité  par  une  va- 
leur quelconque  de  z0  prise  dans  la  série  (9),  et  cela  d’une 
seule  manière.  En  effet,  on  sait  que,  pour  une  valeur  don- 
née de  p,  l’expression 
21“- 1 ± 2/*~  2 ± 21“- 3 ± ...  ±22  ±2  ± i 
en  y faisant  varier  convenablement  les  signes,  exprime,  d’une 
seule  manière,  tous  les  nombres  impairs 
(M>)  1,  3,  5,  7 . ..2^  — 1. 
Or.  en  faisant  pour  abréger 
2^±  1 
4 A -h  1 
= entier  K, 
le  premier  membre  de  l’équation  (8)  se  réduira  à Kz0,  et 
par  conséquent  ce  produit,  eu  égard  aux  valeurs  (9)  de  z0, 
devra  se  réduire  successivement  aux  nombres  suivants: 
(11)  K,  3 K,  5ÜT,  7 /T .... (4- iV — 1)  K,  (4iV- 1-  1)Æ  = 2^±  1. 
Mais  comme  K est  impair,  tous  les  termes  de  la  série  (11) 
qui  se  termine  par  le  nombre  21“  ± 1 )>  21“  — 1,  sont  con- 
tenus dans  la  série  (10).  De  là  on  conclut  avec  certitude 
que  chaque  élément  de  l’aggrégat  primitif,  après  p trans- 
formations, reprendra  son  ancienne  place,  et  que  par  con- 
séquent l’aggrégat  de  l’ordre  p sera  identique  avec  l’aggré- 
gat  primitif.  En  même  temps,  d’après  ce  qui  a été  dit  plus 
haut,  aucun  aggrégat  d’un  ordre  inférieur  h p ne  pourra 
satisfaire  à la  condition  exigée.  Ainsi,  la  solution  de  notre 
question  peut  être  exprimée  en  ces  termes: 
Le  nombre  minimum  de  transformations  qui  ramènent  à son 
étal  primitif  un  aggrégat  composé  de  2 N -+-  1 ou  de  2 N élé- 
ments , est  déterminé  par  l'exposant  minimum  p satisfaisant  à 
l'une  des  deux  congruences 
(13)  2*“  ±1=0  (mod.  4iV-t- 1), 
ou  bien , sans  ambiguité  de  signe , à la  congruence 
(13)  4-“  — 1 =0  (mod.  4iV±  1). 
Voici  quelques  résultats  numériques  relatifs  à ces  formules: 
Dans  le  cas  particulier  de  22V  -i-  1 = 2"-f-  1 , la  con- 
gruence (12)  se  réduit  à 
2^  ± 1 = 0 (mod.  2n~*~ 1 1)  ; 
il  est  visible  que  la  valeur  minimum  de  p qui  satisfait  à 
cette  congruence  est  égale  à w-t-1,  et  qu’il  faut  admettre 
le  signe  Donc,  le  nombre  de  transformations  pour  des 
entiers  impairs  de  la  forme  2"h-1,  et  des  entiers  pairs  de 
la  forme  2",  sera  »+ 1 . Ainsi  on  aura 
2 A-h  1 = 2"-h  1, 
3 = 21  -h  1 
5 = 22  h-  1 
9 = 23  -t-  1 
17  = 24  -h  1 
33  = 25  i 1 
05  = 26  + l 
129  = 27  -+- 1 
2A  = 2",  u: 
2 = 2*  2 
4 = 22  3 
8 = 23  4 
16  — 24  5 
32  — 25  6 
64=  2®  7 
128  = 27  8 
etc.  etc.  etc. 
Supposons  encore  que  l’aggrégat  étant  composé,  comme 
plus  haut,  de  2N  ou  de  2N-t-l  éléments,  N et  4iV-+-l 
soient  tous  deux  des  nombres  premiers  absolus.  Comme  dans 
ce  cas,  en  vertu  d’un  théorème  élégant  donné  par  M.  Tché- 
bycheff  dans  sa  Théorie  des  congruences *),  2 sera  une  ra- 
cine primitive  du  nombre  premier  4 iV  — t—  1 , on  aura 
227V-+-  1 =0  (mod.  4JV-I-  1). 
Donc,  dans  l'hypothèse  admise,  on  conclura  directement 
que  P — 2N,  ce  qu’il  est  facile  de  vérifier  sur  les  nombres 
N—  1,  3,  7,  13  etc.  qui  donnent 
2 A, 
2A-h  1, 
N, 
4 A-h  1, 
u- 
2 
3 
1 
5 
2 
6 
7 
3 
13 
6 
14 
15 
7 
29 
14 
26 
27 
13 
53 
26 
74 
75 
37 
149 
74 
etc. 
etc. 
etc 
2 A, 
2A  -h  1, 
4A-H 1, 
21“  ± 1 
fi: 
2 
3 
5 
22  -H  1 
2 
4 
5 
9 
23  -H  1 
3 
6 
7 
13 
26  -4-  1 
6 
8 
9 
17 
24  -4-  1 
4 
10 
11 
21 
2e  - 1 
6 
12 
13 
25 
210-h  1 
10 
14 
15 
29 
214h-  1 
14 
16 
17 
33 
25  -h  1 
5 
Après  ces  développements  il  sera  facile  de  généraliser 
le  cas  particulier  que  nous  avons  résolu  plus  haut,  cas  où 
il  s’agissait  de  déterminer  la  forme  du  nombre  2 2V— l—  1 et 
le  numéro  de  l’élément,  avec  la  condition  que  sa  position 
ne  change  pas  dans  le  passage  d’une  transformation  à la 
suivante.  Pour  bien  saisir  le  sens  du  problème  dont  il  va  être 
question,  prenons,  par  exemple,  le  nombre  23,  pour  lequel 
on  a p=  12,  et  qui  donne  les  transformations  suivantes: 
etc. 
etc. 
etc. 
*)  Teopifl  cpaBHeuift,  1849;  page  205. 
