75 
Bulletin  pfiysico  - mathématique 
76 
ti  £ 
<N 
m 
» 
X 
ci 
Ö 
S 
(M 
0 
O 
0 
0 
o 
o 
o 
o 
o 
i6.‘ 
o 
O 
< o. 
Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
1 
d2 
21 
19 
15 
7 
10 
4 
16 
9 
6 
12 
i 
2 
20 
17 
11 
2 
20 
17 
11 
2 
20 
17 
11 
2 
3 
18 
13 
3 
18 
13 
3 
18 
13 
3 
18 
13 
3 
4 
16 
9 
6 
12 
1 
22 
21 
19 
15 
7 
10 
4 
5 
1/1 
5 
1/1 
5 
1/1 
5 
1/1 
5 
1/i 
5 
1/i 
5 
6 
12 
i 
22 
21 
19 
15 
7 
10 
4 
16 
9 
6 
7 
10 
4 
16 
9 
6 
12 
1 
22 
2! 
19 
15 
7 
8 
8 
8 
8 
8 
8 
S 
8 
8 
8 
8 
8 
8 
9 
6 
12 
1 
22 
21 
19 
15 
7 
10 
4 
16 
9 
10 
4 
16 
9 
6 
12 
1 
22 
21 
19 
15 
7 
10 
11 
2 
20 
17 
11 
2 
20 
17 
11 
2 
20 
17 
11 
12 
1 
22 
19 
15 
7 
10 
4 
16 
9 
6 
12 
13 
3 
18 
13 
3 
18 
13 
3 
18 
13 
3 
18 
13 
14 
5 
1/4 
5 
1/1 
5 
1/i 
5 
1/i 
3 
1-1 
5 
1/i 
15 
7 
10 
4 
16 
9 
6 
12 
1 
22 
21 
19 
15 
16 
9 
6 
12 
1 
22 
21 
19 
15 
7 
10 
4 
16 
17 
11 
2 
20 
17 
11 
2 
20 
17 
11 
2 
20 
17 
18 
13 
3 
18 
13 
3 
18 
13 
3 
18 
13 
3 
18 
19 
15 
7 
10 
4 
16 
9 
6 
12 
1 
22 
21 
19 
20 
17 
11 
2 
20 
17 
11 
2 
20 
17 
11 
2 
20 
21 
19 
15 
7 
10 
4 
16 
9 
6 
12 
1 
22 
21 
22 
21 
19 
15 
7 
10 
4 
16 
9 
6 
12 
1 
22 
23 
23 
23 
23 
23 
23 
23 
23 
23 
23 
23 
23 
23 
L’inspection  de 
ce 
tableau  fait  voir  1° 
) que  chacun 
des 
deux  éléments  8 et  23  conservent  leurs  places  respectives 
dans  chaque  aggrégat,  circonstance  qui  a déjà  été  examinée 
plus  haut. 
2°)  Que  les  deux  périodes  circulaires,  composées  de  deux 
éléments 
14  5 
5 14 
se  répètent,  et  correspondent  respectivement  aux  places  du 
5me  et  du  14me  rang. 
3°)  Que  les  trois  périodes  circulaires,  composées  de  trois 
éléments 
18  13  3 
3 18  13 
13  3 18 
se  répètent  également,  et  correspondent  respectivement  aux 
places  du  2d,  11”6,  I7rae  et  20me  rang.  Il  est  d’ailleurs  évi- 
dent que  le  nombre  d’éléments  qui  entrent  dans  chaque 
période,  doit  être  diviseur  du  nombre  ^=12,  puisque  cha- 
que élément , après  p transformations  , doit  revenir  à sa 
place  primitive;  ainsi,  dans  notre  exemple,  les  nombres  2, 
3 et  4 sont  diviseurs  de  12: 
Pour  trouver  les  périodes  dont  il  est  -question,  on  pourra 
procéder  de  la  manière  suivante  : supposons  qu’il  s’agisse 
d’une  période  de  trois  éléments.  On  devra  alors  avoir,  con- 
formément à la  formule  (7), 
z0  = 2[M-2  L M-  2 [M — *0]  ] J. 
Admettons,  par  exemple,  que  l’on  veuille  savoir  si  la  ques- 
tion est  résoluble  dans  l’hypothèse  de  z0  assujetti  aux  con- 
ditions 
M z0>  0 
M—  2 [M — z0)  < 0 
M — 2 [M—  2 (M  — s0)]  <0, 
la  parenthèse  carrée  indiquant , conformément  à ce  dont  nous 
sommes  convenus  plus  haut , que  la  quantité  qu’elle  com- 
prend doit  être  prise  positivement.  Nous  aurons  alors  , eu 
égard  aux  conditions  admises, 
z0  = 2(-  M —2  [M — 2 [M  — -â0)j),. 
et,  en  développant, 
z0  = (23-22-2)M-  2 %-, 
4j\  -t-  ! 
substituant  à M sa  valeur  — - — ? on  trouvera 
42V- 1-  I 
*°  ~~  9 ’ 
et  comme  z0  = 2y0  — 1,  on  aura  définitivement 
22V -I-  5 
»o  = — 0 
Pour  que  cette  valeur  soit  entière,  le  nombre  2 N-+- 1 doit 
être  de  la  forme 
2N-+- 1 = 18  R -1-5. 
Ainsi,  après  la  valeur  2 N -+-1  = 5,  qui  est  étrangère  à notre 
question  (car  pour  2 N -i-  1 = 5,  on  a p = 3),  la  plus  petite 
valeur  de  2iV-t-l  sera  18.  l-+-5  = 23,  précisément  celle 
pour  laquelle  nous  venons  de  donner  un  tableau.  On  aura 
donc  dans  ce  cas 
se  répètent,  et  correspondent  respectivement  aux  places  du 
3“,  13me  et  18 me  rang. 
4°)  Que  les  quatre  périodes  circulaires , composées  de 
quatre  éléments 
20 
et  l'on  aura 
II 
lO 
OT 
17 
11 
2 
élément  y 0 
s’obtiendra 
2 
20 
17 
11 
11 
2 
20 
17 
z"0=2(M- 
17 
11 
2 
20 
qui  donnera 
z"o  — 35 , 
y0  = 3* 
Pour  avoir  le  second  élément  y0 , on  formera  l’équation 
z'o  — 2 ( — ¥+2(11+2  [M- — ^0))) , 
y'  =13.  Enfin,  le  troisième 
2(21/- 
