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de  l’ Académie  de  Saint-Pétersbourg^. 
Nous  ne  nous  arrêterons  pas  sur  une  discussion  plus  dé- 
taillée des  périodes  circulaires  dont  il  vient  d’être  question. 
Mais,  pour  compléter  la  solution  générale,  nous  allons  don- 
ner une  résolution  mécanique,  de  la  plus  grande  simplicité, 
de  l’une  des  congruences  fondamentales  (12),  ou,  ce  qui 
revient  au  même,  de  la  congruence  unique  (13).  Il  s'agit 
de  trouver  la  plus  petite  valeur  de  p satisfaisant  à la  con- 
gruence 
4^_ï=o  (mod.  4Y-t-  1), 
le  module  4iV-t-  1 se  rapportant  à un  aggrégat  composé 
soit  de  2 N,  soit  de  2Y-+-1  éléments. 
*Voici  le  procédé  mécanique  que  nous  proposons  pour  ré- 
soudre directement  cette  question. 
On  écrira  dans  une  colonne  verticale  (n°  1)  les  2iV-f-  1 
nombres  de  l’aggrégat  dans  leur  ordre  naturel,  comme  cela 
est  figuré  ici  pour  le  cas  de  2iV-t-  1 = 17,  que  nous  pre- 
nons pour  exemple: 
n°  1.  n°  2. 
1 16* 
2 14 
3 12 
4 10 
5 8 
6 6 
7 4 
8 2 
9 1* 
10  3 
11  5 
12  7 
13  9* 
14  II 
15  13* 
16  15* 
17  17 
La  seconde  colonne  n°  2 se  formera  comme  nous  l’avons 
expliqué  plus  haut,  nommément-  on  écrira  1 vis-à-vis  du 
nombre  qui  occupe  le  milieu  de  la  colonne  n°  1,  c.-à-d. 
vis-à-vis  de  9 ; les  nombres  pairs  consécutifs  s’écriront  en 
remontant,  et  les  nombres  impairs  en  descendant.  Cela  fait, 
on  commence  par  effacer  le  1,  marqué  d’un  astérisque,  de 
la  colonne  n°  2,  et  on  regarde  à quel  nombre  ce  1*  corres- 
pond dans  le  n°  1 ; or  c’est  9 que  l’on  trouve  vis-à-vis  de  1 ; 
on  efface  ce  nouveau  nombre  9*  dans  la  colonne  n°  2,  et 
on  regarde  à quel  nombre  ce  9 correspond  dans  la  colonne 
n°  1 ; ce  nombre  étant  13,  on  le  cherche  dans  le  n°  2,  et  on 
l'efface;  après  cela  on  efface  dans  la  colonne  n°  2 le  nombre 
15*  qui  correspondait  à 13,  et  enfin  le  nombre  16*  qui  cor- 
respondait à 15.  Comme  ce  nombre  16*  occupe  la  première 
place  dans  la  colonne  n°  2,  l’opération  est  terminée.  La  to- 
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talité  des  nombres  effacés  dans  la  colonne  n°  2 sera  préci- 
sément la  valeur  de  l’exposant  p,  égale  à 5 dans  notre  exemple. 
Le  procédé  qui  vient  d être  exposé  découle  immédiate- 
ment du  mode  de  permutation  des  éléments  : en  effet , le 
premier  chiffre  qu’on  efface,  c’est-à-dire  1 , indique  sa  place 
dans  le  premier  aggrégat  ; le  second  chiffre  effacé  indique 
la  place  de  1 dans  le  second  aggrégat;  le  troisième  chiffre 
effacé  — la  place  du  même  élément  1 dans  le  troisième  ag- 
grégat, et  ainsi  de  tuite.  Enfin,  quand  on  arrive  au  chiffre 
qui  occupe  la  première  place  dans  la  colonne  n°  2,  l’opé- 
ration est  terminée,  parce  que  1 sera  revenu  à sa  place  pri- 
mitive. On  aurait  pu  opérer  de  la  même  manière  sur  tout 
autre  nombre  que  1 , et  déterminer  ainsi  le  rang  qu’il  oc- 
cupe dans  chaque  aggrégat.  Mais  alors,  si  ce  nombre  ap- 
partenait par  hasard  à une  période  circulaire,  ce  ne  serait 
plus  au  nombre  cherché  p qu'on  arriverait,  mais  seulement 
à un  diviseur  de  ce  nombre  , nommément  au  nombre  qui 
exprime  la  totalité  des  éléments  de  la  période.  Au  contraire, 
en  prenant  1 pour  point  de  départ,  on  obtiendra  toujours 
le  nombre  cherché  p , parce  que  1 ne  pourra  jamais  revenir 
à son  ancienne  place  avant  p transformations , ce  qui  se 
voit  immédiatement  par  la  formule  (8)  qui  , pour  y0  = 1 , 
et  par  conséquent  z0  = 2ij0  - 1=1,  donne 
9/*  -H  1 
~-±  = 9^— i -+- 9l“  — 2 -H  €>/“  — 3 -+-  -4-0-+-I 
4N-i-  I ’ 
égalité  qui  ne  peut  subsister  à moins  que  ± 1 ne  soit 
divisible  par  42V— i—  1. 
Nous  observerons  en  terminant  cette  Note,  qu’en  généra- 
lisant le  mode  de  permutation  des  éléments  d’un  aggrégat, 
on  arrive  à des  résultats  intéressants  pour  la  théorie  des 
nombres.  Nous  y reviendrons  peut-être  dans  une  autre  oc- 
casion. 
5.  SüR  LES  RAYONS  DE  COÜRRURE  DES  SECTIONS 
coniques;  par  S.  VYCHNEGR  ADSIyY.  (Lu  le 
27  mai  1857.) 
On  construira  le  rayon  de  courbure  en  chaque  point  d’une 
conique  par  le  procédé  suivant,  fort  simple,  et  qui  reste  le 
même  pour  les  trois  espèces  de  ces  courbes. 
Du  foyer  F au  point  A de  la  courbe,  où  il  s’agit  de  con- 
struire le  rayon  de  courbure,  menez  le  rayon  vecteur  FA  et 
construisez  la  normale  AN;  puis,  à partir  de  A,  prenez  sur  le 
rayon  vecteur  la  longueur  AB  égale  au  demi-paramètre  de  la 
conique  que  l’on  considère,  et  par  l’extrémité  B de  cette  lon- 
gueur élevez  sur  le  rayon  vecteur  la  perpendiculaire  BC. 
Cette  perpendiculaire  rencontrera  en  C la  normale  AN;  par  le 
point  C de  son  intersection  avec  la  droite  AN  élevez  sur  celle- 
ci  la  perpendiculaire  CD,  et  enfin,  par  le  point  D de  l’inter- 
section de  cette  dernière  perpendiculaire  avec  le  rayon  vec- 
teur, élevez  sur  ce  rayon  la  perpendiculaire  DE,  que  vous  pro- 
