MS!»  BULLETIN  Tome  XVI. 
LA  CLASSE  PHYSICO  - MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
DE  SI  1.1  T - 1»  ÉTER  mCOtlt«. 
Ce  Recueil  paraît  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro 
l’enveloppe,  le  frontispice,  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corps  même  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidoff  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
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SOMMAIRE.  MÉMOIRES.  10.  Sur  les  questions  de  minima  qui  se  rattachent  à la  représentation  approximative  des  fonctions. 
Tchébychev.  NOTES.  11.  Sur  des  combinaisons  de  Hydrocarbures  neutres  avec  l'acide  picrique.  Fritzsche.  BULLETIN  DES 
SÉANCES.  CHRONIQUE  DU  PERSONNEL. 
MÉMOIRES. 
10.  Sur  les  questions  de  minima  qui  se  ratta- 
chent À LA  REPRÉSENTATION  APPROXIMATIVE 
des  fonctions;  par  M.  TCHÉBYCHEV.  (Ex- 
trait.) (Lu  le  9 octobre  1857.) 
Dans  le  Mémoire  intitulé:  Théorie  des  mécanismes  connus  sous 
I le  nom  de  parallélogrammes  (Mémoires  des  savants  étrangers, 
Tom.  VII),  nous  avons  traité  la  représentation  approxima- 
tive des  fonctions  sous  la  forme  d'un  polynôme,  et  nous 
sommes  parvenu  à la  solution  de  ce  problème: 
Déterminer  les  modifications  qu’on  doit  porter  dans  la  valeur 
approchée  de  f{x)  donnée  par  son  développement  suivant  les  puis- 
sances croissantes  de  x — a,  quand  on  cherche  à rendre  mi- 
nimum la  limite  de  ses  erreurs  entre  x — a — h et  x = a h-  A, 
h étant  une  valeur  peu  considérable. 
Dans  le  présent  Mémoire  nous  donnons  le  théorème  gé- 
néral relatif  à la  solution  des  problèmes  de  cette  espèce, 
problèmes  qui  peuvent  être  énoncés  ainsi: 
Étant  donnée  une  fonction  quelconque  avec  des  paramètres 
arbitraires  pv , p2, . , . . . pn,  il  s’agit  par  un  choix  convenable 
des  valeurs  px , p2, pn  de  réduire  au  minimum  la  limite 
de  ses  écarts  de  0 entre  x = — h et  x = -i -h. 
D’après  ce  théorème  on  reconnaît  aisément  que  dans  les 
recherches  des  valeurs  approximatives  des  fonctions  , soit 
sous  la  forme  d’un  polynôme 
pvxn  1 -L-IV T'1  2 
soit  sous  la  forme  d’une  fraction 
P y*?1— 1 2-f-  + + 
A0xm  H-  Ai  xm  1 —H.  . . . -H  Anl j x -t-  Arn 
avec  un  dénominateur  donné,  les  quantités  py,  p2,  . . . ..  pn 
se  déterminent  par  la  condition  que,  dans  l’étendue  où  l’on 
cherche  à réduire  au  minimum  la  plus  grande  des  erreurs, 
l’erreur  atteint  au  moins  n -h  î fois  sa  valeur  limitative. 
Tel  était  notre  point  de  depart  dans  le  Mémoire  cité  plus 
haut,  Mémoire,  où,  comme  il  vient  d’être  dit,  nons  avons 
traité  la  réprésentation  des  fonctions  sous  la  forme  d’un 
polynôme.  Mais  le  même  théorème  montre  que  cette  condi- 
tion s’altère  dans  le  cas,  où  l’on  cherche  la  représentation 
des  fonctions  sous  la  forme  d’une  fraction,  ayant  ses  deux 
termes  arbitraires  , et  qu’alors  la  condition  dont  il  s’agit 
doit  être  remplacée  par  la  suivante: 
Si 
PiX”  — 1 — 1 -+-p2Xn  l — 2 -+- / 
Pn—  l-L-ixl-+~ Pn — l- F-  1xl~~ 1 t 
est  la  fraction  qui,  depuis  x — — h jusqu’à  x — -a-  h.  s’écarte 
de  la  fonction  donnée  Y moins  que  toutes  les  autres  fractions 
de  la  même  forme,  le  nombre  des  valeurs  réelles  et  inégales  de 
X,  pour  lesquelles  la  différence 
Y _ PlXn  — l—l-A-p1Xn  — l—‘l 
Pu— ls-lxl-*-Pn  — l-+-2a>l~1  -t-  pnx  -A-  1 
entre  x — — h et  x = H-  h atteint  ses  valeurs  limitatives  -t-  L 
