Bulletin  pliyslco  - mathématique 
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et  — L,  ne  peut  être  inférieur  à n -+-  1 de  d unités,  à moins 
qu'on  n ait 
Pi  = 0»  jf^2  = 0 
Vn  — /-+-  1 :=  ® > Pri  — 1-+-  2 0 , - . . • p„  — /-+-*/ 
Dans  cet  énoncé  on  fait  abstraction  du  cas,  où  la  fonc- 
tion Y et  ses  dérivées , pour  des  valeurs  de  x comprises 
entre  x = — h et  x = -i -h,  cessent  d’être  finies  et  conti- 
nues, et  on  suppose  que  la  fraction 
Pixn—1— 1 -t-p2xn—1  — 2 .-rpn_i 
Pn—l-t-lxl-'-Pn—l+lxl— 1 +V  + 1 
est  réduite  à la  forme  la  plus  simple. 
En  passant  aux  applications,  nous  cherchons  la  solution  de 
ces  problèmes: 
1)  Quelle  est  la  fonction  entière  qui,  parmi  toutes  celles 
de  la  forme  xn-t-plxn~ 1 -t-p%xn~ 2 -4-  . . . . -+-  pn_^_^x  h-  pn , 
s’écarte  le  moins  possible  de  0 entre  les  limites  x = — h 
et  x = -t-h? 
2)  Quelle  est  la  fraction  qui,  parmi  toutes  celles  de  la 
forme 
xn  -t-p'xn — 1 -+- p xn — 2 4-.  . . . ,-rp(n — l) 
A0xn — 1 1 -+-  Ayxn  1 — 2 -+■.  . . .4-  An i 2x  4-  An. j 
et  avec  le  même  dénominateur 
A0xn~l~  1 h-  Axxn~l~~ 2 -+-  An_l_ïx  -h  An_i_ j , 
s'écarte  le  moins  de  zéro  entre  x = — h et  x — -\ -h? 
3)  Quelle  est  la  fraction  qui,  parmi  toutes  celles  de  la 
forme 
p'xn  1 1 -+-p"xn — 1 — 2-+-.  . . . -t 
p(n — l-SrzSgl—l  + p(n)x  ’ 
entre  x = — h et  x = -t-h,  s’écarte  le  moins  possible  d’un 
polynôme  donné  xn~~ 1 -+-  Ax  n—l~l  -+-  Exn~  l~ 2 
Malgré  toute  la  complicité  des  équations  qui  déterminent 
les  coefficients  inconnus  pï , p2, pn,  p,  p,  . . . .p(n~*~'\ 
nous  parvenons  à la  solution  définitive  de  nos  problèmes, 
en  les  réduisant  à des  questions  de  l'Analyse  indéterminée. 
La  même  méthode  peut  être  avantageusement  employée  dans 
plusieurs  autres  cas  et  entr  autres,  dans  les  recherches  gé- 
nérales sur  la  représentation  approximative  des  fonctions 
sous  la  forme  rationnelle,  où  cette  méthode  fournit  la  so- 
lution de  ce  problème: 
Étant  donnée  la  valeur  approchée  de  f(x),  que  l’on  trouve 
à l aide  des  méthodes  ordinaires,  soit  sous  la  forme  d'un  poly- 
nôme, soit  sous  la  forme  d’une  fraction  , trouver  les  modifica- 
tions que  l’on  doit  faire  subir  aux  coefficients  de  ces  expressions 
de  f(x) , quand  on  cherche  à réduire  au  minimum  la  limite 
de  leurs  erreurs  entre  x = a — h et  x — a -t-  h,  h étant  une 
valeur  assez  petite. 
C’est  ce  que  nous  nous  proposons  de  faire  dan»  un  autre 
Mémoire,  où  l’on  verra  combien  la  solution  des  problèmes 
particuliers,  que  nous  donnons  à présent,  est  importante  pour 
le6  recherches  générales  sur  la  représentation  approximative 
des  fonctions  sous  la  forme  rationnelle.  Pour  cette  fois  nous 
nous  bornons  à montrer  le  parti  qu’on  peut  tirer  de  notre 
méthode  en  ce  qui  concerne  les  propriétés  des  fonctions  en- 
tières et  fractionnaires.  Ainsi  nous  parvenons  à établir  des 
théorèmes  d’une  espèce  toul-à-fait  nouvelle,  tels  que 
Théorème. 
La  valeur  numérique  de  la  fonction  x"  -+-  ptxn  1 -+-  ... . 
-+-  pn j x H-  pn , entre  x = — h et  x — -+-  h , ne  peut  rester 
inférieure  à 2 I — J • 
Dans  les  limites  x = — h et  x — -A-k,  où  la  fraction 
xn  -+-p'xn  1 -t-  . . ,-\-p^n — *1  x-t-p(n) 
A0Xn~l  -l  -+-  Alxn"~l~i-l-.  . . . -4-  An_l_2  x 4-  1 
ne  devient  ^ ■>  sa  valeur  numérique  ne  peut  rester  au  dessous 
/ h \n / 2p  , 
de  2 ^ — J — ~h)  ’ ,u  etani  nomhre  des  racines  imaginaires 
de  l’équation 
A0xn  l ^-\-Axxn  l 1 -t-  . —h  An i 1 x-t-1 
et  q la  limite  inférieure  de  leurs  modules. 
Théorème. 
La  fonction  x -+-  AxTl  1 -+-  Bxn  2 — ? - , depuis 
x = — h jusqu’à  x = -t- h,  ne  peut  rester  numériquement  au 
dessous  de  \A  ± V A2  -+-  A2]  ( — j > où  l’on  prend  le  radi- 
cal avec  le  signe  contraire  à celui  de  A. 
Théorème. 
La  fonction 
„ „ n — , H i 
xn  -+-  Bxn  1 -+- H 1 , 
X — a x — ß 
depuis  x = — h jusqu'à  x = -4-  h,  ne  peut  rester  numérique- 
ment au  dessous  de 
où  Von  prend  le  radical  avec  le  signe  contraire  à celui  de  la 
quantité  B -+-  h2. 
D’après  ces  théorèmes  on  démontré  plusieurs  propositions 
très  simples  par  rapport  à la  résolution  des  équations.  En 
voici  quelques  unes: 
Si  l’équation  xll~v'x  + Ax2  1 ~ 1 -t-  . . . . -t-  Ix  -t-  K = () 
ne  contient  que  des  puissances  impaires  de  x,  on  trouvera,  entre 
2/4-1  2/4-1 
les  limites  — 2V\K,  -t- 2 Vl,  K , au  moins  l’une  de  ses  racines. 
Si  l'équation  f (x)  =xn-r-Axn'*~ 1 \~  Bxn~ 2 K — Q 
n’a  que  des  racinns  réelles,  quelle  que  soit  la  valeur  t,  on  trou- 
vera toujours  au  moins  l'une  de  ses  racines  entre  x = t et 
