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Bulletin  physico  - mathématique 
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convergent  très  rapidement  les  résultats  d’interpolation,  à 
mesure  que  ce  nombre  augmente,  et  il  ne  sera  pas  difficile 
de  voir,  dans  chaque  particulier,  de  quel  degré  d'approxi- 
mation ces  formules  sont  susceptibles  d’après  les  valeurs 
interpolées. 
' Ainsi,  entre  autres  formules,  nous  parvenons  à celle-ci: 
f(*)=£|  Mdx- f- 
J f[x)dx—^  f[x)dx  ^-4-  J f(x)dx—^  f[x)dx-t-^  f[x).dx  ^ ^ :~a- 
2 ~ 2 
f{x)dx— f (x)  dx  h-  J f[x)dx  — j f [x)  <tej  ÂX  ~/a  X 
72  “72 
7s+i  7s-i  7s-i  7s-n 
a — 4 — 3 — 4 — 3 ^ — a — ' — . — « 
f {x)  dx  — f (x)  dx  -I-  I f {x)  dx  — f [x)  dx  H-  j 
Vj/5+1  J75— 1 j 1/5—1  J 7s+1  J— a 
4 “ 4 ° i ~ ° 4“ 0 
7_33  a a 
J -a  2 /»2  /-o  f*  2 C 
/■(æ)  <ftc  --  j f(x)dx-i-  I f(x)dx — ! f(x)dx-+-  j f[x)dx — 
73  J a Jo  Ja  j 73 
f [x)  dx 
8X4  — 6a222-+- 1 a4 
,¥• 
f(:c)  dx 
16  J5  — 16a2X3  -1-  |a4ï 
Bien  que  cette  formule  contienne  des  intégrales,  pour  éva- 
leur  ses  termes  avec  une  approximation  suffisante  et  au  delà 
de  celle  que  les  erreurs  des  données  elles  mêmes  compor- 
tent, on  n’a  besoin  ordinairement  que  d’un  nombre  très  limité 
de  valeurs  de  f (x)  entre  x = — a et  x = -t-a.  Mais  tant 
qu’on  a un  nombre  suffisant  de  valeurs  de  f [x),  cette  formule 
peut  être  avantageusement  employée  pour  l’interpolation;  car 
ici,  d’une  part,  les  opérations  numériques,  eu  egard  à la  com- 
plication du  problème,  sont  assez  courtes,  et  de  l’autre,  l’in- 
fluence des  erreurs  des  valeurs  interpolées  sur  celles  du  ré- 
sultat cherché  est  notablement  atténuée. 
Pour  s’en  assurer  remarquons  que  toute  la  difficulté  de 
l’interpolation,  d’après  cette  formule,  se  réduit  à l’évaluation 
des  intégrales 
/ma  /ma  /*0 
f (x)  dx , f(x)  dx, 
J — a J — t 
f(x)dx,  etc., 
d’après  les  valeurs  connues  de  f [x).  Or,  quoique  le  nombre 
des  différentes  opérations  arithmétiques  que  cela  exige  croisse 
à l’infini  avec  celui  des  valeurs  interpolées  de  f{x),  ces  deux 
nombres  ne  sont  que  du  même  ordre  de  grandeur,  tandis  que 
dans  la  méthode  des  moindres  carrés  le  premier  est  d’un  ordre 
supérieur  relativement  au  second.  D’autre  part,  la  composition 
de  celte  formule  montre  que  l’erreur  moyenne  du  résultat, 
provenant  de  celles  des  valeurs  interpolées,  est  en  général  du 
même  odre  de  grandeur  que  l’unité  divisée  par  la  racine 
carrée  de  leur  nombre,  comme  cela  a lieu  dans  la  méthode  des 
moindres  carrés. 
Quant  à la  détermination  des  intégrales 
/•a  r*a  /»o 
f[x)dx,  \ f[x)dx,  f (x)  dx, 
J— a d0  J—  a 
etc. 
qui  entrent  dans  notre  formule,  elles  peuvent  être  évaluées 
d’après  les  valeurs  connues  de  f [x),  avec  une  approximation 
plus  ou  moins  grande.  Mais  si  ces  valeurs  sont  assez  rappro- 
chées, on  pourra  souvent,  dans  leur  évaluation  approxima- 
tive, se  contenter  de  cette  formule  très  simple: 
Jfî(x)dx={  [{xÀ-i-xÀ_t_t  —2  h)  f{xÀ)-i 
(*#»  — a)  fixf 4 -1  ) H-  {2H- 
'{XA- 
■xùKxx- 
■V-  0 /■(*>)]’ 
f(**) f&A- f-i) fix //-%),  f[xfi- 1),  f[xp) 
étant  les  valeurs  connues  de  f[x),  et 
XA’  XÂ-H L 1 
xu-n  xl 
celles  de  x , comprises  entre  x = h et  x — H.  — L’erreur  de 
cette  expression  de  l’intégrale  j/’f(x)dx,  comme  il  est  aisé  de 
le  reconnaître,  sera  toujours  inférieure  à 
{H -h)  B, 
24  ) 
A\ 
où  A,  B désignent  les  plus  grandes  valeurs  de  f'  [x),  f {x) 
entre  x = h et  x = H , et  A la  plus  grande  des  différences 
