A*«  592. 
BULLETIN 
Tome  XVII. 
W 8. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE  L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES  DE  ST.-PÉTERSBOURG. 
Le  prix  d’abonnement  par  volume , composé  de  36  feuilles, 
est  de 
3 rb.  arg.  pour  la  Russie, 
3 thalers  de  Prusse  pour  l’étranger. 
On  s’abonne:  chez  Eggers  et  Oie,  libraires  à St. -Péters- 
bourg,  Perspective  Nevsky,  No.  1 — 10;  au  Comité  administratif  de 
l’Académie  (KoMUTen.  Ilpas-uema  lÏMnepaTopcKon  Ana^eMiH 
HayKT>),  et  chez  M.  Leopold  Yoss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  MÉMOIRES.  2.  Remarques  sur  la  pyramide  triangulaire.  Mention.  NOTES.  7.  Sur  le  bibenzoale  de 
Cumol.  Tüttschef.  BULLETIN  DES  SÉANCES. 
MÉMOIRES. 
2.  Remarques  sur  la  pyramide  triangulaire; 
par  M.  J.  MENTION.  (Lu  le  30  avril  1858.) 
Quoique  Lagrange,  de  Gua,  Carnot,  Legendre, 
Monge  se  soient  occupés  du  tétraèdre,  ses  pro- 
priétés sont  assez  peu  connues.  Le  fameux  Mémoire 
du  premier  tend  simplement  à prouver  que  l’Analyse 
peut  résoudre  facilement  des  questions  de  Géométrie  ; 
l’abbé  de  Gua  a découvert  le  théorème  sur  le  volume 
en  fonction  de  deux  arêtes  opposées,  de  leur  angle  et 
de  leur  plus  courte  distance;  Carnot,  dans  son  Mé- 
moire sur  la  relation  entre  les  distances  de  cinq  points 
quelconques,  n’a  eu  pour  objet  que  d’évaluer  toutes  les 
parties  de  la  pyramide  par  les  seules  arêtes;  Legen- 
dre a inséré  dans  les  notes  de  sa  Géométrie  les  for- 
mules sur  le  volume  et  le  rayon  de  la  sphère  circon- 
! scrite ; enfin,  Monge,  dans  la  Correspondance  sur  l’École 
Polytechnique , a exposé  quelques  propriétés  curieuses 
, des  pyramides  conjuguées. 
Si  l’on  est  revenu,  trop  souvent  peut-être,  sur  le 
triangle  rectiligne,  il  en  a été  tout  autrement  pour  la 
pyramide;  les  équations  y relatives  contenant  un  grand 
nombre  d’éléments,  la  prolixité  des  calculs  empêche 
de  rien  voir  d’intéressant  sur  les  diverses  parties  de 
la  figure.  On  a bien  signa1  é d’insignifiantes  analogies 
entre  le  tétraèdre  et  le  triangle,  sans  aborder  néan- 
moins l’étude  géométrique  de  la  pyramide.  Durra n de 
s’est  trompé  en  croyant  trouver  la  distance  entre  les 
centres  des  sphè:es  inscrite  et  circonscrite.  Les  con- 
sidérations géométriques  qu’il  emploie  doivent  être 
inexactes;  ayant  cherché  nous -même  cette  distance 
par  différentes  méthodes  de  calcul,  nous  sommes  ar- 
rivé à une  conclusion  absurde  en  admettant  la  valeur 
de  Durrande.  Nous  n’examinerons  point  ici  sous 
quel  rapport  pêche  le  lemme  dont  il  fait  usage:  notre 
but  n’est  que  d’indiquer  plusieurs  relations  nouvelles 
propres  à faciliter  des  recherches  sur  la  pyramide 
triangulaire. 
I. 
Dans  tout  ce  qui  suit,  j’appellerai  A,  H,  C,  D les 
quatre  sommets  du  tétraèdre,  et  aussi  les  faces  BCD, 
DAC , DBA , BCA;  a , 6,  c les  arêtes  BC , AC,  AB  et 
a,  b',  c leurs  opposées  respectives. 
Six  équations  utiles  s’offrent  d’abord  naturellement. 
En  effet,  soit  II  la  distance  d’un  sommet  quelconque 
C à la  face  opposée,  j’ai  V ~\C.  Il,  V volume  du  té- 
traèdre. Mais,  h étant  la  hauteur  du  triangle  CAD 
issue  du  point  C,  il  est  clair  que 
9 n 
Il — h sin  (B,C)  = -j  sin  (B,  C), 
Donc  S Va  ==  2BCsin(B,C). 
Pareillement, 
3 VI)  ■=  2ACsin(A,C'),  3Vc  = 2 AB  sin(.4,B), 
3Va=  2ADsin  ( A , D),  3Vb  = 2BD  sin  (B,  D), 
3Fc  = 2CDsin(U,D), 
