Bulletin  pIiy§ico  - mathématique 
156 
115 
D’où 
ad  ==  4Aq£D  sin  (ß,  C ) sin  (A, D) , 
bb'  = 4Ay£D  sin  ( A , C)  sin  (ß,  D) , 
cc'  = sin  (A,  ß)  sin  (C,  D). 
Ainsi  les  produits  des  arêtes  opposées  sont  entre  eux 
comme  les  produits  des  sinus  des  angles  que  forment  les 
faces  qui  se  coupent  suivant  ces  arêtes. 
Les  équations  p écédentes,  combinées  avec  les  prin- 
cipes de  la  trigonométrie  sphérique , fournissent  aisé- 
ment: 
Is  3 F = db'cV  1 — cos2 (a'  b')  — cos2 (a'  c)  — cos2  {b[  c ) -4-  2cos  {a,  b')  cos  (a'  c ) cos  (b',  c ) 
9 V2  = 2 ABC  Y l — cos2A,ß  — cos 2ß,  C — cos2A,  C — 2cos  A,  B cos  ß,  C cos  A,  C 
2° 
9 F2  = 2ABI)Yi  — cos2A,ß — cos  2ß,D  — cos  2A,D — 2cos  A,ßcos  ß,Dcos  A,D 
9 V2—  2ACdY  1 — cos2A,C' — cos  2C,D — cos  2A,D — 2 cos  A,C  cos  C,D  cos  A,D 
9 F2  = 2 BCD  Y 1 — cos2ß?C  — cos 2CJ>  — cos 2BJ>  — 2 cos  B^C  cos  CJ)  cos  b7d 
En  conséquence,  les  parties  du  tétraèdre  s’expri- 
meront par  le  volume  et  les  angles  dièdres;  malheu- 
reusement, les  résultats  n’ont  de  remarquable  que  leur 
prolixité,  et  je  m’abstiendrai  de  les  écrire. 
Relation  entre  deux  faces , leur  angle  et  les  arêtes.  On  a: 
cos  (a'  b')= cos  (a,  c')cos(6'  c )H-sin(a,V)sin(&'c')cos  A,ß 
= cos  (a'  c)  cos  {b',  c ) -i-  cos  A,ß. 
Remplaçant  les  cosinus  par  leurs  valeurs  en  fonc-  y2 
tion  des  arêtes,  et  effectuant  le  calcul,  je  conclus: 
opposées.  Car  ces  lignes  sont  les  diagonales  de  trois 
parallélogrammes,  ayant  respectivement  leurs  côtés 
parallèles  aux  arêtes  et  égaux  aux  moitiés  de  ces 
arêtes.  Donc,  appelant  x,  yy  z leurs  longueurs,  j’aurai 
2 2 C2H-c'2  2 2 b2-*-b’2  2 2 a2-+-a2 
* -*-y  =— 2—! » X -I- Z =— 2— , y H—  2 2— . 
2 c2 -h  c'2  -+-  b2  -+-  b'2  — a2  — a2 
D’où 
1 6.4ß  cos  A B ==  c 2 (a2  h-  a ‘ 
b'2  — c2  — c 2) 
a2_l_a'2_1_c2_HC'2_62_ft'2  _2 
. Z - 
- b2- 1-  ft'2 — C2 — C2 
•cVmaV— a2ô: 
De  même 
1 6ßC  cos  ß^C  ==  a'2 (62  -+-  ô'2  -i-  c! 
-+-b2b’2 
c c 
16  AC  cos  A,C  = b'2  (a2 
6 V 
4 ’ -4 
Monge  ^ trouve  le  volume  de  la  pyramide  en  fonc- 
tion de  ces  lignes  et  de  leurs  angles  deux  à deux. 
Observation.  Si  a 2 -+-  a2  = b2~+~  b'2  = c2  -+-  c'2, 
les  trois  parallélogrammes  deviennent  des  rectangles, 
et  dès  lors  les  arêtes  opposées  du  tétraèdre  sont  per- 
pendiculaires deux  à deux.  De  plus,  les  rectangles 
^2  ^'2v  I ayant  leurs  diagonales  égales , les  six  milieux  des 
arêtes  appartiendront  à une  sphère  dont  le  centre  est 
“ a c ’ au  centre  de  gravité  de  la  pyramide.  Les  hauteurs  de 
'2  2 '2\ 
c — a — a ) 
1 6 CD  cos  C,  D = c2  ( a 2 -+-  a 2 -+-b2  -+-  b'2  • c2 c2)  celles-ci  concourent  d’ailleurs  en  un  même  point  ; les 
-+-b2b'2  ■ "2"2  2"2  2u'2  2l '2  j pieds  des  hauteurs,  dans  les  bases,  coïncident  avec  les 
ab, 
pieds  des  plus  courtes  distances  des  arêtes.  Ils  appar-  | 
16ADcosA,D  = a2(62 
h-ôV-hcV2- 
16ßDcos  BJD  = 62  (a2 
J2  + c2  + c'2  — a2  — a2)  tiendront  alors  aussi  à la  sphère,  en  vertu  du  théo- 
rème sur  le  cercle  des  neuf  points  du  triangle  recti- 
!>Y2 
2 . '2 
c'*^b2  — b'2) 
2 '2  2 '2  »2  Z. '2  /2  2 2 '2 
h — a a — t—  c c — b b — a c — a c » 
Les  facteurs  entre  parenthèses  ont  un  rapport  di- 
rect avec  les  lignes  joignant  les  milieux  de  deux  arêtes 
Si  dans  un  tétraèdre , les  arêtes  opposées  sont  perpendi-  \ 
culaires  deux  à deux ; l9  les  quatre  hauteurs  concourent  i 
1)  Correspondance  sur  l’École  Polytechnique,  Tome  II  page  5. 
