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de  l'Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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en  un  même  point  29  les  milieux  des  arêtes  et  les  points  où 
elles  sont  rencontrées  par  leurs  plus  courtes  distances  appar- 
tiennent à une  même  sphère. 
Le  volume  de  la  pyramide  en  fonction  des  arêtes 
s’exprime  au  moyen  de  l’équation 
1 44  F2  = aV  (62  + 4’  + .’- i-  c'2  — a2  — a'2) 
6V(a2 
cY2  (a2  - 
— c‘ 
O 
c'2) 
Et  des  relations  ci-dessus,  je  déduis: 
ABC 2 cos  A,  B -+-  ACb 2 cos  A,  C -+-  BCa 2 cos  B1 C 
-+-  ADa2  cos  A, D -+-  BDb'2 cos  B,D-+-  CDc 2 cos  C, D 
= 27  V2. 
II. 
Digression  sur  le  centre  des  distances 
proportionnelles. 
Un  système  de  points  quelconques  A,  B,  C,  D.  . . 
étant  donné,  ainsi  que  des  nombres  m , n,p,q.  . . l’éva- 
luation de  la  somme 
m.AM2-t-p.BM2+p.CM2-*-q.DM2-t-.  . . 
où  M désigne  un  point  de  l’espace,  dépend  de  la  dis- 
tance de  ce  point  au  centre  K des  distances  propor- 
tionnelles à m,n,p,q.  . . , d’après  l’équation: 
2mAM2  = 2m . MK2  -+-  2mAK2. 
Lorsqu’il  s’agira  du  triangle  ou  du  tétraèdre,  on 
pourra  prendre  pour  nombres  m,  n,  p,  q.  . . les  trian- 
gles ou  tétraèdres  partiels  formés  en  joignant  le  centre 
h aux  sommets.  Cela  est  presque  évident. 
Maintenant  2m  A K2  dépend  très  simplement  des 
quantités  m et  des  distances  des  points  donnés  entre 
eux.  La  seule  géométrie  montrerait  que 
À TT  2 
2m  A K = — , 
2m  7 
mais  il  est  plus  expéditif  de  le  vérifier  par  les  coor- 
données dont  nous  placerons  l’origine  au  centre  même 
des  distances  proportionnelles.  Alors,  appelant  x ',y,z\ 
x,y",z\  x",  y",  z"; ...  les  coordonnées  des  points  A,  B , C 
• • • j’ai  d’abord 
mx 
my 
mz 
Puis  l’égalité 
//  w A 
- nx  -+-  p x -+- . . . = O, 
ny" -+-py  " . . = 0, 
nz"  -*-pz"  — s- . . . = 0. 
2mAK2 = 
2m«a2 
2m 
se  transforme  ainsi: 
/ '2  '2  '2\  / H 2 H2  //2\  / "'2  '"2  ”'2\ 
m(x  -t-y  -Hz  )-t-n(x  -t-y  -*-z  )-*-p{x  -+-y  -*-z 
mn[(x'-x')z-i-(y'-y")z-i-(z'-z")z]'i-np[(x"-x"r)z-i-(y"-y"')z-+-(z'-z'")z 
m-t-n-t-p  . . 
mp  [(*'  — x"f  -t-  (y  — y”)2  -+-  (/  — z'")2]  h-.  . . 
( x 2 -t-  y'2  z2)  (m 
- (x,,2-+-  y"2  -+-  z"2)  (n  ■ 
m -f-  n -t-  p 
mn  -i-  np 
’m 
, 'r'2  fff  2 
(x  —t—  y ■ 
n{p- 
mp  h-  np 
2 mn 
i-  n -\-p 
/ ' //  ' //  ' f/\ 
(XX  -+-  y y +22 
m -+-  n -a-  p —h  . . . v üü  ' 
2mp  , //  - 
(XX 
1 + P 
2 mp 
v frf  rr  rrf\ 
yy  +n  ) 
(xx"-t-yy"-t-zz") — . . .=0, 
m-t-  n -+-p  -+-. 
ou  encore 
mzxz-y-nzx  z-\-pzx"z-\- . . .-t-  2mnxr x A-2mpx  x'" -t-2npx x 
mzy'z-t-n2y"2-t-py'"2-*-. . . -+-  2mny'y"-t-2mpy’y"'-+-2npy  y'"- 
vi-t-n-t-p- 1-. . . 
mzz'z-t-nzz"z-i-pzz"z-t-...-+-2mnz'z'-t-2mpz'z"'-+-2npzzz 
- 0 
et  enfin 
( mx'  -*-nx'-i-px'"  . ,)z-t-(my' -t-ny  "-\-py'"~ t-. . .)z-v~{mz  A-nz  '-t-pz'"-4-. . . )2 
= 0, 
égalité  intuitive. 
Considérons  actuellement,  comme  centres  de  dis- 
tances proportionnelles,  les  divers  points  remarquables 
dans  le  triangle  et  le  tétraèdre.  Un  point  est  suscep- 
tible d’occuper  trois  positions  distinctes  dans  le  plan 
du  triangle;  il  sera  dans  l’intérieur,  ou  à l’extérieur 
dans  un  angle  ou  son  opposé  par  le  sommet:  et  quatre 
dans  l’espace,  relativement  à la  pyramide,  savoir  dans 
l’intérieur,  ou  à l’extérieur  dans  un  des  angles  solides 
ou  son  opposé  par  le  sommet,  et  dans  un  des  six  b% 
angles  au  dessous  d’une  face  et  entre  les  trois  autres. 
