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ßiilEetin  p h y si  co  - mathématique 
Triangle. 
Centre  du  cercle  inscrit.  Les  surfaces  partielles  sont 
proportionnelles  aux  côtés  a,  b,  c.  Donc 
2a . AM 2 = (a  -t-  b -a-  c)  MK 2 -+-  abc, 
et 
a.iif2-^  ô.  ß4/2  — c.C4/2  = (a^6— c)M2  — aôc 
pour  un  centre  de  cercle  ex-inscrit. 
Point  de  rencontre  des  hauteurs.  Les  rapports  des  sur- 
faces partielles  égalent  ceux  des  quantités 
cos  B cos  C sin  A , cos  4 cos  C sin  I? , cos  A cos  B sin  C 
ou  tang  A,  tan  g B,  tangC. 
Donc  (si  le  point  de  rencontre  est  à l’intérieur) 
2AM2tgA  = (tgA  -t-  tg B -a-  tgC)  MK 
ou  =2  tang  .4 . AM 
Or 
a2 
tang  A 
2a2tgZ?tgC 
tgA-t-tgB-Y-tgC  ' 
b2  c2 
tang  B tang  C* 
a2 
tang  A 
b 2 
tang  B 
4fi2(sin  2^ -f- sin  -4- sin  2C), 
Ä rayon  du  cercle  circonscrit,  = 8ß2  sin  4 sin  B sin  C 
= 2 S,  S surface  du  triangle. 
Enfin 
2AM2  tang  A = 2 tang  A . MK 2 h-  25. 
Centre  du  cercle  circonscrit.  Les  surfaces  sont  entre 
elles  comme  sin  24,  sin  2 .B,  sin2C.  Donc 
2AM 2 sin  2A  = 4 sin  A sin  B sin  C (MK2  h-  B2) 
et  A M 2 sin  2 A -+-  BM2  sin  2 B — CM2  sin  2 C 
= 4 sin  C cos  A cos  B (MK2  h-  R2) , 
si  le  centre  est  à l’extérieur  du  triangle 
Tétraèdre. 
Centre  de  gravité.  Il  y a égalité  entre  les  volumes 
partiels, 
2AM2  = 4M  K2  -a-  2AC1  = 4M  K2  h- 
4 
Centre  de  la  sphère  inscrite.  Les  volumes  partiels  étant 
proportionnels  aux  aires  des  quatre  faces  A,  B,  C , D, 
il  vient: 
2A  . AM2  = MK2  (A  -t-  B h-  C -a-  D) 
ABC 2 -+-  BCa 2 -t-  ACb2  -t-  .4Da'2  -t-  BDb'2 -y-  CDC,'2 
A H—  JS  -t-  C + D 
Le  centre  K est-il  le  centre  d’une  sphère  ex-inscrite 
ou  tangente  aux  prolongements  de  trois  faces  A,  B,  C 
et  en  dessous  de  la  quatrième  D,  il  faut  prendre  D 
négativement,  ce  qui  donne: 
A . AM2  -t-  B . BM2  -+-  C . CM2  — D . DM2 
= (A  + ß + C — D)  MK1 
ABc2  -t-  BCa2  ACb2  — ADa'2  — BDb'2  — CDc'2 
A-*-  B -y-  C — D 
Quant  aux  centres  des  sphères  ex -inscrites  aux 
angles  dièdres  formés  par  les  prolongements  de  deux  ; 
faces  et  entre  les  prolongements  des  deux  autres,  on 
devra  prendre  deux  aires  avec  le  signe  — , on  aura 
par  exemple: 
A.  AM2  -4-  B.BM2 — C.  CM2  — D.  DM2 
= (A  _+_  b — C - D)  MK2 
ABc2  — BCa2  — ACb2  — ADa'2  — BDb'2 -+-  CDc2 
A 4-  B — C — D 
ni. 
De  la  sphère  circonscrite. 
Soit  adopté  le  centre  0 de  cette  sphère  pour  centre 
des  distances  proportionnelles;  désignons  par  vc, 
vh,  va  les  volumes  des  tétraèdres  partiels  ayant  leur  1 
sommet  au  centre  et  s’appuyant  sur  les  hases  D,  C,  | 
B,  A.  La  relation  correspondante  à un  point  M de 
l’espace  sera  2va . AM2  = V (MO2  -a-  R2). 
Plaçons  le  point  if  successivement  aux  quatre  som- 
mets de  la  pyramide,  il  en  découlera  ce  système  d’é- 
quations : 
a\  -a-  b2vc  c2vb  = 2 VR2, 
b'2vd  -a-  a2vc  -a-  c2va  = 2 VR2, 
c2vd  -f-  b2va  h-  a2vb  = 2 VR2, 
a2va  h-  b'2vb  -i-  c\  = 2 VR2. 
D’où  je  tire: 
