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de  !’ Académie  de  Saint-Pétersbourg-. 
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^ |/ß2  a2d2  (b2  -+-  c2  — a2)  + b2b’2  (c2  -+-  a2  — b2)  -+-  c2«/2  (a2  -+■  b2  — c2)  — 2a2b2c2 
Vd  2a2d2b2b,z  -t-  2 a2d2c2c’z  -i-  2b2b'2c2c'2  — a4a'4  — 64&'4  — c4c'4  ’ 
rr.,2  a2a'2 (62  -+-  c2  — a'2) -+-  626  - (c2  -i-  a'2  — 62)  -f-  c2c'2  (F2  -+-  a'2  — c2)  — 2a2b'2c 2 
■ 2a2a  zb2b'~  -+-  2 àzdzczc'z  -+-  2b+dzezdz  — a^a'*  — b+b'*  — c4ef4  ’ 
0 yn 2 a2a'2  (c'2  + 62- a'2)  -h  b2b’2  (c'2  -+-  a'2  — 62)  -h  c2c'2  (a'2  -i-  62  — c'2)  — 2d2b2c2 
vb  ’ li  ~ 2a2a'2b2b'2  2a2a2c2c2  -+-  2 a2b'2c2c'2  — a*d*  — &4F4  — cV4  ’ 
2 T,  „2  a2a'2  (b'2  -+-  c'2  — a2)  62ô'2  (c'2  H-  a2  — 6'2)  c2c'2  (a2  -t-  F2  — c'2)  — 2a2b'2c2 
Wa  J 2a2a'2b2b'2  -+-  2 a2a'2c2c'2  -+-  2b2b’2c2c'2  — a*a! '4  — 646'4  — c4c'4 
Or  la  somme  des  numérateurs  est  égale  à 2. 144  F2.  Partant,  puisque  t>a  -+-  h-  vc  h-  vrf 
= P,  le  dénominateur  commun  = 4. 144  F2/?2. 
cc  ) (66  cc  — aa  ) ( aa  -+-  cc  — 66  ) ( aa  -4-  66  — cc  ). 
Donc  R=  2^ÿV (aa  -+- bb' 
Les  inconnues  affecteront  dès  lors  un  autre  type  qu’il  convient  de  mettre  en  relief,  ainsi: 
",  = ïim[cl(aV-,-ôV— AV*V''+^'—  bV)+a\bW-*-cV—  aV2)— 2aWj- 
Nous  avons  admis,  à la  vérité,  que  le  centre  O 
était  intérieur  au  tétraèdre;  s’il  était  au  dessous  d’une 
face,  on  en  prendrait  négativement  le  volume  partiel 
correspondant,  dans  les  équations  ci-dessus. 
La  combinaison  des  formules  exposées  § I avec  les 
présentes  valeurs  de  va , vb , . . . conduit  à quatre  nou- 
velles relations,  savoir: 
Âüa 2 cos  A,  D h-  BDb'2  cos  D,  D -h  ABc2  cos  Aß 
= 9F2h-  18F.t>c, 
ABc 2 cos ^4, ^ -4—  ACb2  cos  Aß- +-  BCa 2 cos  B , C 
= 9F2-+-  18F. «d, 
ACb2  cos  Aß  -+-  ADa2  cos  Aß- +-  CDc 2 cos  C,  D 
= 9F2h-  18F.t>6, 
BCa2  cos  Bß  -4—  DD6'2  cos  Bß  -4-  CDc'2  cos  Cß 
= 9F2n-18F.ca. 
Et  de  là  aussi,  2ADc2  = 27  F2. 
Cette  valeur  si  élégante  du  rayon  de  la  sphère  cir- 
conscrite a été  signalée  par  M.  Brassine  ( Nouvelles 
Annales  Tome  6,  page  227),  M.  Joachimsthal  l’a  dé- 
duite de  l’application  des  déterminants  aux  problèmes 
de  Géométrie  (Journal  de  Crelle,  1851).  Elle  est 
contenue  dans  le  Mémoire  de  Carnot  sur  les  distances 
de  cinq  points,  page  11,  il  n’a  pas  été  frappé  de  sa 
symétrie. 
L’expression  qui  se  trouve  dans  les  Notes  de  la 
Géométrie  de  Legendre,  se  prête  difficilement  aux 
substitutions  nécessaires  afin  de  retomber  sur  celle  de 
Carnot.  Mais  qu’on  introduise  les  angles  de  trois 
faces  entre  elles,  et  la  difficulté  disparaît.  Servons- 
nous  de  la  relation  cossinussique  entre  les  angles 
qu’une  même  droite  fait  avec  trois  autres,  et  prenons 
la  sous  la  forme  imaginée  par  Français  ßorrespondance 
sur  V Ecole  Polyt.  Tome  I page  343). 
1 = 
cos2  (p,  a ) 
■ o , rrr~/\  ' 
sin2  (a,  b c ) 
cos2  (p,  b') 
sin2  (b',  de') 
cos2  (p,  c ) 
sin2  (c[  db ') 
— 2cos  (p,.)  c.^>)  cos  (0-e;  jV) 
sm  (a,  b c ) sm  (b,  a c ) v J 
— M cos (ay jV) 
sin  (a,  6 c ) sm  yc,  a b ) x 7 / 
— cos  a'b) 
sin  (b,  a c)  sin  ( c , a b) 
où  p représente  la  droite  de  position  variable;  a',  6'  c 
les  trois  autres,  a b',  aie,  b' c les  plans  passant  par  deux 
droites. 
Alors  a,  6'  c étant  trois  arêtes  consécutives  d’un 
tétraèdre  et  p le  rayon  de  la  sphère  circonscrite  par- 
tant de  leur  sommet  commun,  en  remarquant  Is  que 
cos  (p,  a')  = cos  (p,  6')  = cos  (p,  c) 
C 
2 R- 
29  que  sin  (a,  b'c)  = sin  (6c'  de ) sin  (a'  6') . . . , 
on  aura,  réductions  faites, 
36  V2B2  = A2d!‘  -4—  B2b"‘  -+-  C2d  — 2a2 b’2 AB  cos  Aß 
— 2 b'2c2BC  cos  Bß  — 2 d2c2AC  cos  Aß. 
Les  produits  AB  cos  A, B sont  connus  en  fonction 
des  arêtes,  comme  A2,  B2,  C 2;  il  ne  reste  qu’à  opérer 
de  faciles  substitutions. 
Je  remplace,  dans  le  rayon  de  la  sphère,  ad,  66,'  cc 
par 
"9ÿ2-  sm  (Â, C ) sin  (A-  D)5  -gÿT-  sm  (4  °)  sm 
pour  l’avoir  en  fonction  du  volume  et  des  angles 
dièdres.  J’ai  ainsi: 
