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Bulletin  physico  - mathématique 
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R = 
2A2B2C2D2 
2 sin2  B,  C sin2  A.  D sin2  Aß  sin2  B,D -+-  2 sin2  B,  C sin2  A,  D sin2  sin2  C.  D 
2 sin2  A,  C sin2  B,  D sin2  A,  B sin2  DD  — sin4  Bß  sin4  AD  — sin4i^  sin4  iTu 
sin4  AB  sin4  C.  D. 
IV. 
De  la  distance  entre  les  centres  des  sphères 
inscrite  et  circonscrite. 
En  généralisant  un  théorème  des  Propriétés  projec- 
tives, Durrande2)  a pensé  découvrir  la  valeur  D2  = 
(. R h - r)  (B  — 3 r)  où  R est  le  rayon  de  la  sphère  cir  • 
consente  et  r relui  de  l’inscrite.  Je  tire  de  la  théorie 
du  centre  des  distances  proportionnelles 
2. abc 2 
Ds 
R 
(§  11).  La  fonction 
ARc2  -+-  BCa2  -+-  ACb2 
(1  + ß + C + D)2 
ADa 2 h-  BDb 
CDc 
ne  dépendrait  donc  que  du  volume  et  des  rayons  B,  r. 
Cette  fonction  s’offre  d’elle -même,  lorsqu’on  vient  à 
prendre  trois  axes  de  coordonnées  rectangulaires  se 
croisant  au  centre  de  la  sphère  circonscrite,  pour  trou- 
ver la  distance  qui  nous  occupe.  En  effet,  le  carré 
de  cette  distance 
/ Ax  -+-  Bx"-t-  Cx"-+-  Dx'"\2 
/ Ay'  -+-  By'A-Cy"  -+-  DyBr\2 
\ A — i—  B + C + D ) 
V 4+ß+C+ß  / 
(Az  -+-  Bz"-*-  Cz"  -4-  Dziry 
x>  y',  x,y”,z] . . . 
\ 4 + ß + C+ß  ) ’ 
coordonnées  des  quatre  sommets;  ou 
D - 
2 AB 
R 
3 A2  -+-  B2  -+-  C2  -+-  D2 
i -C  + Df 
■y  y" -a- z 
[A  -Hi 
{x  x"  - 
(4  + ß + C + Df 
Or  xx"  -+-  y y'  -i-  zz  = le  cosinus  des  rayons  partant 
des  sommets 
Et  Tf  = R 
A^B  ou  (1  — 
A2  -+-  B2  -+-  C2 
( A-t-B 
2 ABC 2 
\ 
2 R2) 
-t-D2 
-d)z  ' 
= R2 
Ri2  = B 
-4—  B° 
— C2. 
22  AB 
(A  B -h-  C -i-  D)2 
2 ABC2 
(4  + B + C+D)2  (4  + £ + C + D)2 
Puisque,  selon  l’auteur,  D2  = R2 — 2 Br — 3r2,  on  aura 
2)  Voyez  les  Annales  de  Gergonne  Tome  XXII  page  38  et  suivantes. 
2 ABC2  n , ! 
2ßr+3r 
ou  2ÂBC1  — (2R -t-  3r)^  — H-  3)  9 V2. 
En  ce  qui  concerne  les  sphères  ex-inscrites,  Dur- 
rande pense  de  même  trouver  la  valeur 
D'2==  (B  — r)  (B -4-  3r). 
Mais 
ry2 n2  ABc2-i-BCa2-+-ACb2—ADa2-BDb'2—CDc'2 
U “ (4+ß  + C-  D)*  * 
Donc 
A Bc 2 -1-  BCa2 H—  AC62  — ADa2—  BDb'2  — CDc 2 
= (—  2*  h- 3)  9F2. 
Jusque  là  rien  de  contradictoire. 
Supposons,  à présent,  qu’on  ait  écrit  les  trois  au- 
tres égalités  correspondantes  aux  sphères  ex-inscrites 
touchant  en  dessous  les  faces  C,  B,  A et  ajoutons  les 
avec  la  première.  La  somme  des  premiers  membres 
sera  nulle,  donc 
— 2Bi 
1 1 
^ + -1-12  — 0, 
ou  6 = B2 
On  sait  que  2^  = -^,  d’où  3 r = R:  conclusion  fausse.1 
La  fonction 
ABc-  — 1—  BCa2  -+-  ACb2  -4-  ADa2  -4-  BDb'2  -+-  CDc2 
dépend  donc  d’autres  quantités  que  le  volume  et  le£ 
rayons  des  sphères  inscrite  et  circonscrite.  Au  surplus) 
en  la  ramenant  à contenir  seulement  le  volume  et  le^ 
angles,  on  se  convaincrait  qu’elle  ne  comporte  null« 
simplification.  Elle  devient  alors 
2AB  sin24,B. 
9 F2 
