M 593, 
BULLETIN 
Tome  XYII 
Nä  9. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO -MATHÉMATIQUE 
DE  L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES  DE  ST.-PÉTERSBOURG. 
Le  prix  d’abonnement  par  volume , composé  de  36  feuilles, 
est  de 
3 rb.  arg.  pour  la  Russie, 
3 thalers  de  Prusse  pour  l’étranger. 
On  s’abonne:  chez  Eggers  et  Cie,  libraires  à St. -Péters- 
bourg,  Perspective  Nevsky,  No.  1 — 10;  au  Comité  administratif  de 
l’Académie  (Komhtctb  IIpaBjeHia  HsmepaTopcKofi  Aica^eum 
Hayna.),  et  chez  M.  Leopold  Yoss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  NOTES.  8.  Sur  la  transformation  des  modules  dans  les  congruences  du  premier  degré.  Boüniakovsky. 
9.  Quelques  mots  sur  les  infusions  végétales  et  la  multiplication  de  Colpoda  Cucullus.  Weisse.  BULLETIN  DES 
SÉANCES. 
^ OTES. 
8.  Sur  la  transformation  des  modules  dans 
LES  CONGRUENCES  DU  PREMIER  DEGRÉ;  PAR 
Y.  BOUN1AKOWSKY.  (Lu  le  30  avril  1858.) 
Comme  la  recherche  du  reste  de  la  division  d’un 
nombre  par  un  autre  n’exige  aucune  opération  quand 
le  diviseur  est  égal  à 10  ou  à une  puissance  de  ce 
nombre,  il  est  tout  naturel  de  chercher  s’il  n’est  pas 
possible  de  remplacer  un  diviseur  quelconque  soit  par 
10,  soit  en  général  par  10m.  La  substitution  dont 
nous  parlons  est  si  simple,  que  sans  doute  elle  se  sera 
déjà  présentée  plus  d’une  fois  aux  calculateurs.  Néan- 
moins, comme  le  procédé  dont  il  s’agit  conduit  à quel- 
ques résultats  fort  simples  concernant  la  divisibilité 
des  nombres,  et  que  d’ailleurs  je  ne  me  souviens  pas 
d’en  avoir  vu  l’exposé,  j’en  dirai  quelques  mots  dans 
cette  Note. 
Représentons  par  JS  le  nombre  donné,  et  par  p un 
module  quelconque,  simple  ou  composé.  Il  s’agit  de 
trouver  le  reste  r de  la  division  de  N par  p,  ce  qui 
s’exprime  par  la  congruence 
JS^r  (mod.  p). 
Soit  p -+-  n le  module  que  l’on  veut  introduire  à la 
place  de  p;  si  l’on  prend  pour  p -+-  n une  puissance 
de  10,  on  abrégera  généralement  le  calcul.  Divisons 
A par  p h-  n;  désignant  par  le  quotient  et  ppr  r,  le 
reste,  pous  aurons 
N=(p-+-n)qi+rt.  <«) 
Divisons  ensuite  »</,  par  p -h  n;  soit  q2  le  quotient 
et  r%  le  reste;  par  conséquent 
= (*) 
En  divisant  de  nouveau  nq2  par  p -h  n,  on  aura 
n?2  — (P  “t~  w)  ?3  _l_  r3 , (s) 
et  ainsi  de  spite,  jusqu’à  ce  que  l’on  soit  arrivé  à un 
nombre  nqm  inférieur  à p -+-  ».  La  dernière  équation 
sera  donc 
En  ajoutant  toutes  les  équations  (1),  (2),  (3).  . . .(4) 
ainsi  obtenues,  on  aurq 
n +-+ym)p+ri+r2+r3+-+rm-nqm’ 
ou  bien 
N jIf (r,  -r-  t2  -r-  r3  -r-  ...  h-  rm  h-  nqj  (mod.  p).  (S) 
Si  la  somme 
, .-F-rw-+-»5nt  = A'  = JV(mod.p) 
surpasse  le  module  p-+-n,  on  opérera  sur  jV  exacte- 
ment comme  on  vient  de  le  faire  sur  /V,  et  l’on  arri- 
vera à la  -congruence 
r^-v-  r2  -t-r3  - 1- ...  -+-  r m,  -+-  nqm,  =?  JV"==  JS  = JS  (mod.  p), 
et  ainsi  de  suite.  Or,  comme  l’on  a évidemment 
JV>  JV'>  1V">...., 
on  parviendra  nécessairement  à une  valeur  Nm,  infé- 
rieure à p -I-  »,  de  laquelle  on  déduira,  soit  immédia- 
