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Bulletin  physico  - mathématique 
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tement,  soit  par  une  division  très  simple,  le  reste 
cherché  r. 
Quelquefois  il  sera  plus  avantageux  de  substituer 
au  module  p un  module  inférieur  p — n;  dans  ce  cas, 
au  lieu  des  équations  (1),  (2),  (3). . .(4),  on  formera 
les  suivantes: 
A = (p  — n)  ç1  r , 
nq}  = (P  n)q2  r2 
nq2=(p  — n)q  3H-r3 
— ng3  = —(p  — n)qi  — ri 
dont  la  somme  algébrique  donne  de  suite 
(?T— Ï2-+-Î3— 24-+-’  • 1 riT*--  • •=i=«i»=ï=*îm , 
ou  bien 
(©)  N==(r—: r2-*-r3— ri  + ...+rm  + nqJ  mod.p). 
Les  deux  formules  (5)  et  (6)  s’appliquent  immédia- 
tement à la  recherche  des  caractères  de  divisibilité 
des  nombres,  quelques  soient  les  diviseurs,  premiers 
ou  composés.  Nous  allons  en  présenter  quelques 
exemples;  commençons  par  les  caractères  générale- 
ment employés. 
Pour  le  nombre  p — 9,  on  prendra  n = 1 , ce  qui 
réduira  la  formule  (5)  à la  congruence 
A = r,  -*-  r2  — r3  h-  rm  -+-  qm  (mod.  9). 
Or,  comme  le  module  p -+-  n,  pour  le  cas  que  l’on  con- 
sidère, est  égal  à 10,  les  restes  successifs  rv  r2, 
r3 rm,  qm  ne  seront  autre  chose  que  les  chiffres 
mêmes  du  nombre  donné  A,  écrits  par  ordre,  en  al- 
lant de  la  droite  à la  gauche.  On  se  trouve  ainsi  con- 
duit à la  règle  bien  connue  pour  la  divisibilité  des 
entiers  par  9. 
Si  dans  la  formule  (6)  on  suppose  p = 1 1 , n = 1, 
on  tombera  sur  le  caractère  généralement  employé 
pour  le  diviseur  premier  11. 
Lorsque  le  module  p diffère  trop  d’une  puissance 
de  10,  on  abrège  considérablement  le  calcul  en  met- 
tant cette  puissance  sous  la  forme  pk  ± n,  n’étant 
plus  petit  que  p.  Ainsi,  pour  p ±=  37,  nous  mettrions 
100  sous  la  forme  3.37  — 1 1,  et  la  formule  (6)  nous 
conduirait  au  procédé  suivant  pour  la  détermination 
du  reste  r de  la  division  d’un  nombre  donné  A par  37: 
On  sépare  sur  la  droite  du  nombre  donné  A deux 
chiffres,  qu’on  écrit  à part;  soit  r%  ce  premier  reste. 
On  multiplie  par  1 1 le  nombre  qui  résulte  de  A après 
en  avoir  retranché  ces  deux  chiffres,  et  l’on  sépare 
de  nouveau  les  deux  derniers  chiffres  du  produit;  soit 
r2  le  second  reste.  On  continue  la  même  opération 
jusqu’à  ce  que  l’on  soit  arrivé  à un  nombre  qui  n’ait 
pas  plus  de  deux  chiffres.  Si  l’on  représente  par 
ri,  r2,  r3,  V • • • les  restes  successifs  ainsi  obtenus,  le 
résidu  cherché  r,  provenant  de  la  division  de  A par 
37,  donné  par  la  formule  (6),  sera 
JV  = r = (r|+r3+r5+...)-(r2H-ri+rl.+  ...)  (mod.  37). 
Il  est  évident  d’ailleurs  que  si  la  différence 
(r,  -+- r3 -t- rs -+- 
• • * ) (r2  r6  * • •), 
est  divisible  par  37, 
le  nombre  A le  sera  également- 
Exemple. 
A=  732865. 
7328,65 
r,  = 65  r2=  8 
7328 
r3  — 6 6 r4  = 6 8 
806,08 
r5  = 99  70 
806 
230 
88,66 
— 76 
88 
1,54  r4  = 54  r,  = 11 
9,68 
11 
99 
III 
s» 
III 
-r2  =43  = 6 (mod.  37). 
Cherchons  encore  le  reste  de  la  division  d’un  en- 
tier par  le  nombre  composé  989  = 23  . 43;  en  ob- 
servant que  104=  989  h-  11,  on  se  trouvera  con- 
duit, par  la  formule  (5) , à la  règle  suivante  : 
Sur  la  droite  du  nombre  à diviser  A on  sépare  trois  ; 
chiffres;  soit  r1  cette  tranche;  on  multiplie  par  11  ce  i 
qui  reste  de  A après  cette  suppression,  et  l’on  sépare 
du  produit  une  nouvelle  tranche  r2,  composée  égale-  J 
ment  de  trois  chiffres.  On  continue  cette  opération 
jusqu’à  ce  que  le  nombre  restant  ne  contienne  au  plus  : 
que  trois  chiffres.  Le  reste  r de  la  division  du  nombre 
donné  A par  989  sera  congru  à la  somme  r^r^r^...  | 
suivant  le  module  989. 
Exemple.  A=  3678912.  Voici  le  calcul: 
3678,912  r,=  912 
3678  r2—  458 
40,458  L r3=  404 
40  r)  r2-i-r3  = 1810 
440 
A=r=  1810  = 821  (mod.  989). 
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