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de  1* Académie  de  Saint-Pétersbourg:. 
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Pour  dernier  exemple  prenons  le  diviseur  p = 101  ; 
faisant  n—  1 dans  la  formule  (6),  on  trouvera  la  règle 
suivante  pour  la  détermination  du  reste  r de  la  divi- 
sion d’un  nombre  donné  par  101: 
On  décomposera  le  nombre  donné  N en  tranches 
de  deux  chiffres  en  allant  de  droite  à gauche.  La  somme 
des  tranches  d’ordre  impair,  diminuée  de  la  somme 
des  tranches  d’ordre  pair,  sera  congrue  à N suivant 
le  module  101. 
Ainsi,  pour  déterminer  le  reste  r de  la  division  de 
235894539  par  101,  on  n’aura  que  le  calcul  suivant 
à faire: 
39 
45 
89 
35  r = 130  — 80  = 50 
2 
~8Ô 
130 
donc 
235894539  = 50  (mod.  101). 
On  a pu  voir,  par  ce  qui  précède,  que  la  considé- 
ration des  modules  composés  est  tout  aussi  simple  que 
celle  des  modules  premiers. 
Nous  terminerons  cette  Note  en  faisant  voir  que 
l’on  peut  aussi,  quelquefois,  mettre  à profit  les  deux 
formules  (5)  et  (6)  pour  trouver,  d’une  manière  assez 
expéditive,  le  reste  de  la  division  d’un  polynôme  par 
un  autre.  En  supposant  que  N soit  le  polynôme  à di- 
viser, égal,  par  exemple,  à 
/ + 4c’IH  + feR-2+ , 
et  p le  diviseur  que  nous  représenterons  par 
xm  -+-  axm~}  -+-  bxm~2  h-....  , 
nous  ferons,  [formule  (6)],_p  — n=xm , ce  qui  don- 
nera 
Dans  cette  hypothèse  la  division  d’un  polynôme  par 
un  autre  se  trouvera  évidemment  réduite  à la  division 
par  le  monôme  xm.  Ainsi,  par  exemple,  s’il  s’agissait 
de  trouver  le  reste  de  la  division  de 
iV  = x5  h-  3xu  — 7x3  -+-  8a;2  — 2x  -+-  3 
par 
p = x3  -+-  6x2  — 9x  -+-  5, 
on  ferait 
p — n = x3, 
et  par  conséquent 
n 6a:2  — 9x  -+-  5 . 
En  conservant  les  dénominations  employées  plus  haut, 
nous  aurons  en  vertu  de  la  formule  (6): 
N = x3  {x2  —h  3#  — 7)  8x2  — 2x  -+-  3 
— ng1  = — x3(6x  + 9)  + 64a:2  — 78a:  -+-  35 
-+-  nq2  = x3 . 36  — 51a; -+-45 
— nq3=  — 216a;2H-32lr— 180. 
La  somme  algébrique  des  restes 
8a?2 — 2a:-i-3,  64a;2 — 78a:-t-35,  — 51a:-t-45 
et  — 216a:2 -+-  324a:—  180, 
égale  à — 144a:2  -+-  193a: — 97,  représentera  le  reste 
de  la  division  du  polynôme  donné  Apar  le  polynôme  p. 
Dans  cet  exemple , le  procédé  exposé  n’a  pas  pré- 
senté d’avantage  sur  le  procédé  ordinaire  de  la  divi- 
sion. Mais  il  est  des  cas  où  les  calculs  peuvent  se 
simplifier.  Ainsi,  par  exemple,  quand  le  diviseur  p se 
réduit  à un  binôme  de  la  forme  xm±a , on  obtient 
le  reste  cherché  avec  une  extrême  simplicité. 
Supposons  qu’il  s’agisse  de  trouver  le  reste  de  la 
division  de  N=x6-*-  8x5 — 7a:5-+-  9a:3-+-7a?2 — 2a;-+-  3 
par  p — x2  — 8 ; on  fera  n — 8 , et , en  employant  la 
formule  (5),  on  obtiendra: 
N = x2  (a:4  -+-  8a?3  — 7x2  — i—  9a:  — i—  7)  — 2x-t-  3 
nqJ  = x2  (8x2 -i- 82x — 8.7)  -*-  8 . 9x-+-  8 . 7 
nq2  = xi2.8 2 -+-  83.a:  — 82.  7 
n 3=  , +83. 
La  somme  algébrique 
(83-+-  8 . 9—2)  a:  -+-  83 — 82.7-h8.7h-3  = 582o:-h123 
représentera  le  reste  cherché. 
Voici  un  exemple  encore  plus  simple. 
Soit  N=  xn+  Axn~'-i-Bxn-2-i-....-t- Kx2-+- Lx-t-M 
et  p = x — a;  en  faisant  n = a,  et  en  employant  la 
formule  (5),  on  trouvera  de  suite: 
N=x(xn-'  + Axn-2- h.  ..-*  /,)  .-1/ 
nq%  — x(axn~  2-+-  aAxn~ 3 h-  . . . -+-  K a)  -+-  La 
nq0  = x (a2xn~3  •+-  a2  Axn  ~ 4 -+- . . . ) -+-  K a2 
nqn_y  — x(an~~ 1 . x)  -+-  Aan  1 
„n 
nqn=  a. 
Ainsi,  le  reste  cherché  sera  égal  à 
an  h—  Aan  1 n-  Ban  2 -t-  ....  —s—  Ka2  h—  La  — M . 
