J|ô  401.  BULLETIN  Tome  XVII. 
W 17. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE  L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES  DE  ST.-PÉTERSBOURG. 
Le  prix  d’abonnement  par  volume , composé  de  36  feuilles,  j 
est  de 
3 rb.  arg.  pour  la  Russie, 
3 tbalers  de  Prusse  pour  l’étranger. 
On  s’abonne:  chez  Eggers  et  Cie,  libraires  à St. -Péters- 
bourg,  11.  Perspective  de  Nevsky;  au  Comité  administratif  de  l’Ac- 
adémie (KoMHTeTtllpaBjreHia  HMnepaTopcKOH  AKa^eMin  HayKt), 
et  chez  M.  Leopold  Yoss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  NOTES.  14.  Sur  une  nouvelle  série.  Tchébychef.  15.  Sur  les  sapins  blancs  de  Pawlowsk.  Ruprecht. 
BULLETIN  DES  SÉANCES. 
NOTES. 
14.  Sur  une  nouvelle  série.  Par  P.  TCHÉBY- 
CHEF. (Lu  le  8 octobre  1858.) 
Dans  mon  Mémoire  sur  les  fractions  continues, 
présenté  à l’Académie  en  1855,  et  publié  dans  ses 
jtfemoî'm(TomeIII),je  suis  parvenu  à une  formule  qui, 
d’après  les  valeurs  données  d’une  fonction,  affectées 
d’erreurs  quelconques , fournit  directement  sa  valeur 
sous  la  forme  d’un  polynôme  avec  des  coefficients 
indiqués  par  la  méthode  des  moindres  carrés.  Cette  for- 
mule comprend,  comme  cas  particuliers,  les  dévelop- 
pements connus  des  fonctions  suivant  les  cosinus  des 
arcs  multiples  et  suivant  les  valeurs  de  certaines  fonc- 
tions désignées  par  X(n).  On  tire  de  notre  formule 
plusieurs  autres  séries,  en  faisant  différentes  hypo- 
thèses particulières  sur  la  suite  des  valeurs  connues 
de  la  fonction  cherchée.  Dans  l’hypothèse  la  plus 
simple,  où  l’on  suppose  ces  valeurs  équidistantes, 
telles  que 
U'  = f(h),  ua  = f(2h), un  = f{nh) , 
et  leurs  erreurs  probables  égales,  notre  formule  fournit 
le  développement  de  u = f{x ) suivant  les  dénomina- 
teurs de  la  fraction  continue  qui  résulte  du  développe- 
ment de  l’expression 
î î î 
x — h x — 2 h * x — nh' 
Mais  comme  on  trouve  que  ces  dénominateurs,  à 
un  facteur  constant  près,  et  en  prenant  A x = h,  s’ex- 
priment par 
A \x—h)  {oc— 2 h)j{x—lh)  {x—nh —h)  {x—nh— 2 h)..(x—nh— lli) , 
il  en  résulte,  en  vertu  d’une  transformation  très  simple 
des  sommes,  cette  série  remarquable: 
dans  laquelle  les  signes  de  sommation  s’étendent  à 
toutes  les  valeurs  de  i,  depuis  i — 1 , jusqu’à  i = n. 
De  plus,  ou  trouve  que  les  fonctions 
A {x  — h){x  — nh  — h) , 
A2  (x  — h)  {x  — 2 h)  {x  — nh  — h)  {x  — nh  — 2 à), 
A 3{x—h)  {x—  2 h)  (x—3h)  {x—nh— h)  (x—nh—2h)  (x—nh—3h) , 
que  nous  désignerons,  pour  abréger,  par 
