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Bulletin  pliysieo  » mathématique 
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sont  liées  entre  elles  par  l’équation 
A*  — {21—  1)  h {2x  — nh  — h)  A*  ~ 1 — 
(Z-l)2  [n2-(/-l)2]/tW-2, 
d’où  l’on  tire  aisément  les  valeurs  de  toutes  ces  fonc- 
tions: 
A1  = h {2x  — nh  — h), 
A2  = 3 h2  {2x  — nh  — Kf  — (n2  — 1)  h\ 
A3=  I5h3(2x — nh — hf — 3 (3n2 — 7)h5(2x — nh — h), 
^z=l05h\2x-nh-hf—30{dn2—l3)h\2x—nh—hf 
-t-  9 (w2  — 1)  (n2  — 9)  /i8, 
A5=  9iôh5{2x—nh—hf — 1050  {n2—7)h\2x—nh—hf 
-i-15(l 5 n*  — 2 3 O«2  -+-  407)  à9  (2*  — nh  — h), 
^ 2_(Sm ,-)2  3[Si(w  — î)Am;-]2  5 [2t(t-i-l)  (n— i)  (n—i—1)  A2w/]2 
l2.n  (n2 — 12)ä2  ^ l2 . 22n  (n2  — l2)  (n2  — 22)  h* 
7 [Si  (t'-f- 1)  (in- 2)  — i)  (n  — i — 1)  (n  — i — 2)  A3m/]2 
l2 . 22 . 32 . n (n2  — l2)  (m2  — 22)  (n2  — 32)  A6 
qui,  à son  tour,  dans  le  cas  de 
et  n infiniment  grand,  devient 
f/dx=  (fa«dxj  + §{f\(l—  *)£  i*)‘ 
imitai1— 
(X'*8  (1  — S .<**)*  ■+•  • • • • 
Notons  encore  que  les  fonctions 
A {x  — h)  (x  — ; nh  — h), 
et  l’on  obtient  sur  le  champ  le  développement  de 
l’expression 
i i i 
x — h x — 2 h ••••  x — nfl 
A2  {x  — h)  {x  — 2 h)  {x  — nh  — h)  {x  — nh  — 2à), 
A 3{x—h)  {x— 2h)(x—3  h)  {x—nh—h)  {x—nh—  2 h)  (x—nh—3h), 
en  fraction  continue 
2 n 
2x — nh — h — 
12  (n2_!2)42 
3 (2x  — nh  — h)  — 
22  (î22  — 22)  hr' 
5(2  x — nh—h)  — 
32(w2 — 32)fe2 
l(2x — nh  — h) — ... 
La  série  que  nous  venons  d’obtenir,  pour  l’évalua- 
tion de  u d’après  ses  valeurs  équidistantes,  ne  l’aisse 
rien  à désirer  pour  l’interpolation  parabolique  de  telles 
valeurs,  vu  que  dans  cette  série  tous  les  termes  se 
calculent  très  aisément  d’après  les  différences  consé- 
cutives des  valeurs  données.  Dans  le  cas  de 
et  n infiniment  grand,  notre  série  se  réduit  à une  suite 
ordonnée  suivant  les  valeurs  des  fonctions  X(n).  Dans 
le  cas  de 
qui  entrent  dans  notre  série,  sont  très  remarquables 
par  des  propriétés  analogues  à celles  des  fonctions  de 
Legendre  X(n). 
Ces  fonctions,  en  outre,  fournissent  des  expressions 
approximatives  de  la  somme 
2F(ih) 
qui  jouissent  de  la  même  propriété  importante  que 
celles  qui  ont  été  données  par  Gauss  pour  les  qua- 
dratures. 
Dans  un  de  nos  Mémoires  ultérieurs  on  verra  tous 
les  détails  nécessaires  sur  la  série  que  nous  venons 
de  donner  et  les  fonctions  remarquables  dont  ses  ter- 
mes sont  composés. 
Ce  1 octobre  1858. 
et  n infiniment  grand,  elle  se  réduit  à la  série  de  Ma- 
claurin.  D’autre  part,  en  multipliant  ses  termes  par 
u{  et  sommant  depuis  i—  1 , jusqu’à  î = n , on  en  tire 
cette  formule: 
