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BULLETIN 
DE 
Tome  XVII. 
N2  20. 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE  1/ ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES  DE  ST.-PÉTERSROURG. 
Le  prix  d’abonnement  par  volume , composé  de  36  feuilles, 
est  de 
3 rb.  arg.  pour  la  Russie, 
3 tbalers  de  Prusse  pour  l’étranger. 
On  s’abonne:  chez  Eggers  et  Oie,  libraires  à St. -Péters- 
bourg,  11.  Perspective  de  Nevsky;  au  Comité  administratif  de  l’Ac- 
adémie (KoMHTeT'bllpaBJieHiH  HinnepaTopcKOH  AnaxeMiH  Hayieb), 
et  chez  M.  Leopold  Yoss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  NOTES.  17.  Sur  les  normales  aux  courbes  du  second  ordre.  Mention.  18.  Solutions  nouvelles  de  deux 
problèmes  relatifs  au  triangle.  Le  même.  RAPPORTS,  k.  Sur  les  lépidoptères  de  Lenkoran  et  de  Talyche.  Ménétkiës. 
BULLETIN  DES  SÉANCES. 
NOTES. 
17.  Sur  les  normales  aux  courbes  du  second 
ordre,  par  M.  J.  MENTION.  (Lu  le  8 octobre 
1858.) 
1)  Quand  on  cherche  les  coordonnées  du  point 
d’intersection  de  deux  normales  à une  courbe  du  se- 
cond ordre,  en  fonction  des  coordonnées  des  points 
où  elles  coupent  la  courbe  à angle  droit,  les  expres- 
sions auxquelles  on  parvient  renferment  seulement  le 
produit  et  la  somme  de  ces  dernières.  Il  est  donc  na- 
turel d’introduire  dans  les  formules  les  coordonnées 
du  pôle  de  la  droite  passant  par  les  points  dont  il 
s’agit.  J’ajouterai  que  cette  introduction,  souveut  né- 
cessaire, facilite  toujours  les  calculs. 
Soient  x,  y les  coordonnées  du  point  de  ren- 
contre de  deux  normales;  a,  ß celles  du  pôle  en 
question:  le  reste  de  la  notation  étant  comme  à l’or- 
dinaire. D’après  la  marche  tracée  plus  haut,  on  aura 
dans  l’ellipse, 
C»a(6»-ß») 
“ a2ß2  -t-  62a2  ’ 
et,  dans  la  parabole 
2ß2 
* = P + Jj  - 
c2ß  (a2  — a2) 
2aß 
y p 
L’examen  de  quelques  cas  particuliers  établira  l’uti- 
lité de  ces  formules.  On  les  appliquera,  par  exemple, 
pour  chercher  l’équation  de  la  courbe  sur  laquelle 
sont  les  points  d’intersection  des  normales  à angle 
droit;  et  l’équation  du  lieu  des  points  de  concours 
des  normales  aux  extrémités  d’une  corde  dont  le 
rayon  focal  est  constant.  Je  donnerai  le  procédé  d’é- 
limination du  second  cas. 
Alors 
c2ß  (a2  — a2) 
c2a(62_ß  2) 
X — a2(62-»-ft2)  ’ y 
a2  (62  -+-  ft2) 
en  posant 
ay 
c2a  (62a2  — a2ft2) 
ou  a2x  (b2  -+-  k 2)  = 
»(* =ïïM. 
Soit  a = cm,  (3  = bt. 
On  devra  éliminer  i,  u entre  les  trois  équations: 
a ft2 
v u 
a’CC"  3*  ft2 
1 b2 
I -T—  U = 
ax  ( b 2 ft2) 
lÄc2  ’ 
by  (b2  -+-  ft2) 
b2c2 
b2-t-  ft2 
b2  ' 
J’ajouterai  ensemble  les  deux  premières  élevées 
au  carré,  et  en  ayant  égard  à la  troisième,  la  somme 
ne  contiendra  plus  que  t2u2.  De  même  le  produit  ne 
contiendra  que  tsus  et  lu*). 
2)  Les  valeurs  de  x,  y ne  changent  pas  par  la 
*)  Le  résultat  final  se  trouve  dans  notre  article  sur  le  cercle 
focal,  tome  II  des  Mélanges  page  489. 
