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ISulletiii  pliysico  - matliéinatique 
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substitution  de  — ~ aux  variables  a,  ß.  D’ail- 
leurs — ß,  — sont  les  coordonnées  du  pôle  de  la 
ligne  joignant  les  pieds  des  perpendiculaires  abaissées 
sur  les  axes,  du  point  situé  symétriquement  au  pre- 
mier pôle,  par  rapport  au  centre  de  la  courbe.  D’où 
ce  théorème  de  M.  Joachimstlial: 
«On  prend  le  symétrique  d’un  point  par  rapport 
au  centre  d’une  ellipse;  de  ce  nouveau  point  l’on 
abaisse  des  perpendiculaires  sur  les  axes.  Les  points 
où  la  ligne  des  pieds  rencontre  l’ellipse  et  ceux  où 
elle  est  rencontrée  par  la  polaire  du  premier  point, 
jouissent  de  la  propriété  que  leurs  normales  concou- 
rent, au  même  point.» 
Notre  système  de  formules  permet  de  vérifier  la 
construction  imaginée  par  M.  J oachimsthal , du  point 
de  rencontre  de  deux  normales,  sans  employer  les  points 
d’où  elles  partent  (Nouv.  Annales  de  Math,  tome  YI, 
page  312).  Tout  l’artifice  consiste  à former  des  droites 
contenant  le  point  cherché,  et  ne  dépendant  que  du 
pôle  et  de  la  polaire. 
Je  nommerai  point-normal  le  point  où  une  normale 
rencontre  la  courbe  à angle  droit,  et  point-oblique  ce- 
lui où  elle  la  coupe  obliquement;  et  je  rappellerai  que 
deux  cordes  sont  dites  conjointes , quand  elles  sont  éga- 
lement inclinées  sur  les  axes. 
Le  même  géomètre,  auteur  d’une  foule  de  beaux 
théorèmes  sur  les  normales  aux  courbes  et  aux  sur- 
faces du  second  degré,  a encore  énoncé  la  propriété 
suivante  : 
«Quatre  normales  concourant  au  même  point,  trois 
de  leurs  points-normaux  et  le  symétrique  du  quatrième 
par  rapport  au  centre  de  l’ellipse,  appartiennent  à 
une  circonférence.»  \ ^ * • 
Nous  l’avons  démontrée  ailleurs,  et  n^fif  signale-’ 
rons  maintenant  les  propriétés  des  normales  à la  pa- 
rabole. 
Soit  ß l’ordonnée  du  pôle  :-L  étant  le  coefficient 
de  la  polaire,  y — — j x sera  l’équation  de  la  con- 
jointe issue  du  sommet,  conjointe  qui  coupe  la  para- 
bole au  3e  point -normal.  Celui-ci  aura,  dès  lors, 
— 2ß  pour  ordonnée  ; c’est  à dire  que , si  du  pôle 
d’une  corde , Von  abaisse  une  perpendiculaire  sur  Faxe , 
et  qu’on  la  prolonge  d’une  longueur  double  d’elle -même; 
les  normales  menées  par  les  extrémités  de  la  corde,  et  par 
le  point  de  rencontre  avec  la  courbe  du  diamètre  passant 
par  le  nouveau  point , se  croisent  au  même  point. 
L’ordonnée  de  ce  nouveau  point  est  indépendante 
de  l’abscisse  du  pôle,  et  demeure  constante  pour  tou- 
tes les  cordes  de  même  direction.  Donc  le  lieu  des 
points  de  concours  des  normales  ménées  par  les  extrémités 
d’une  corde  de  direction  constante  est  une  normale. 
Ce  dernier  fait  résulte  naturellement  du  théorème 
de  Bérard.  Car,  si  deux  des  trois  points-normaux 
situés  sur  une  circonférence  contenant  le  sommet  de 
la  parabole,  restent  sur  une  corde  de  direction  con- 
stante, la  circonférence  variable  renfermera  un  second 
point  fixe,  situé  sur  la  conjointe  à la  direction  donnée 
et  partant  du  sommet.  Or  les  normales  ne  cessent  de 
se  croiser,  et  l’une  demeure  fixe. 
3)  Plus  généralement,  il  convient  de  chercher  le 
lieu  géométrique  du  point  de  concours  de  deux  nor- 
males à une  conique,  menées  par  les  extrémités  d’une 
corde  dont  la  direction  est  constante. 
1°  Ellipse.  Soit  m le  coefficient  constant.  Il  faudra 
éliminer  a,  ß entre  les  trois  équations: 
c2a  (62  — ß2) 
c2ß  (a2  — a2) 
, a2ßm  -+- 
a2ß2  -+-  b2 a2  * y 
ce  qui  fournira 
a2ß2  -+- 62a2  ' 
2 2 .2  2 
/ alm2  -+-  b2\ 
4 2 
a x h-  o y — xy  1 
{-—)■ 
— cp  =■ 
a2m2  — b2  * 
où  p gg 
a2m2  -+-  b2  ’ 
et,  en  posant 
Gergonne,  dans  une  note  de  ses  Annales  (page 
204  du  tome  9)  formule  ce  théorème:  «Les  pieds  des 
normales  ménées  par  un  point  à une  parabole  sont, 
avec  le  sommet  de  la  courbe,  sur  une  circonférence» 
et  apprend  qu’il  est  noté  dans  les  Opuscules  de  Bérard 
page  109.  On  peut  en  conclure  la  position  d’un  point- 
normal,  relativement  au  pôle  de  la  corde  des  deux 
autres. 
x=(i  — m 
v > 2 a2m2  b2 7 
l’équation  devient 
b\y2  -t-  a\x2  — 2 abxy  — c4X  (1  — X2)  = 0. 
2°  Parabole.  11  faut  ici  éliminer  a,  ß entre: 
y=  — 2f,  p=mß. 
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