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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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C’est  l’équation  d’une  normale  dont  - est  le  coeffi- 
cient angulaire. 
Chacun  de  ces  lieux  doit  passer  par  les  points- 
obliques  des  normales  parallèles  à la  direction  donnée. 
Si  la  conique  a un  centre,  le  lieu  est  une  hyperbole, 
ce  qui  se  conçoit  à priori.  L’équation  de  l’hyperbole, 
n’ayant  de  variable  que  X = qui  se  conserve 
quand  à m on  substitue  on  s’aperçoit  que  les  lieux 
correspondants  à une  corde  quelconque  et  à la  con- 
jointe de  sa  supplémentaire  sont  identiques.  Quant  à 
la  parabole,  la  normale- lieu  et  la  normale  de  direc- 
tion donnée  couperont  la  courbe  au  même  point- ob- 
lique, et  il  y a une  normale  pour  laquelle  celui-ci 
est  un  point-normal.  Ainsi,  par  tout  point-oblique  d'une 
normale  à la  parabole , passent  trois  normales.  Ceci  s’ac- 
corde avec  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour 
que,  d’un  point  de  la  courbe  (a,  ß),  partent  trois  nor- 
males, qui  est  ß > 2 p:  puisque  la  normale- lieu  ren- 
contre la  parabole  en  des  points  d’ordonnées 
2 P 
VI  ' 
et  que  m 
]>  m 
>2. 
Le  centre  de  courbure  du  point,  dont  la  tangente  est 
parallèle  à la  direction  donnée,  appartient  également 
au  lieu  qui  nous  occupe:  de  sorte  que,  la  direction 
variant,  les  centres  de  courbure  formeront  l’enveloppe 
de  l’hyperbole.  La  développée  d’une  conique  à centre 
est  donc  l’enveloppe  d’une  certaine  hyperbole  con- 
centrique. En  particulier,  la  développée  d’une  hyper- 
bole équilatère  est  l’enveloppe  d’une  hyperbole  équi- 
latère  concentrique.  Les  équations  de  ces  développées 
se  calculeront  très  simplement,  en  différentiant  par 
rapport  à X l’équation 
f b2y 2 -+-  a‘-x2  — c4 
2abxy ~ 
— U> 
quatre  normales;  il  y en  aura  trois,  si  deux  sont  égales, 
et  deux  si  une  seule  valeur  est  réelle. 
Les  ingénieuses  transformations  qui  conduisent  M. 
Gérono  (Nouv.  Ann.  tome  2)  à la  solution  de  ce  pro- 
blème, sont  moins  instructives,  géométriquement  par- 
lant, que  les  présents  détails. 
Dans  le  cas  de  quatre  normales,  les  six  cordes  de 
points  normaux  se  partagent  en  couples  telles  que, 
les  fonctions  b 2 ont  m®me  valeur.  Ce- 
la suppose  m = m',  ou  bien  a2mm  —A2;  la  première 
hypothèse  répond  aux  quatre  sommets,  et  la  seconde 
signifie  que  l’une  des  cordes  et  la  supplémentaire  de 
l’autre  sont  des  lignes  conjointes.  Nouvelle  démon- 
stration du  théorème  de  Joachimsthal,  cité  § 2. 
18.  Solutions  nouvelles  de  deux  problèmes  re- 
latifs au  triangle;  par  M.  J.  MENTION.  (Lu 
le  8 octobre  1858.) 
Avant  d’arriver  aux  problèmes  qui  vont  m’occuper 
un  instant,  il  est  nécessaire  de  faire  remarquer  cer- 
taines relations , omises  jusqu’ici , dans  le  chapitre 
pourtant  si  rebattu  du  triangle  rectiligne. 
Je  nommerai,  r,  a,  ß,  y les  rayons  des  cercles  inscrit 
et  ex-inscrits,  R celui  du  cercle  circonscrit;  d , d',d", 
les  distances  de  son  centre  aux  côtés. 
Les  relations 
2 R — -2d  — a — r,  2/î  — 2d  = ß -+-  y, 
2R  — 2d'=ß  — r,  2R-*-2d'=a-t-Y, 
2R-^2d"=y  — r,  2R-t-  2d"=  a-+-ß; 
très  simples  à démontrer  géométriquement,  me  don- 
nent par  voie  d’addition 
6 R — ■ 2 (d  -t-  d'-+-  d")  = a H-  ß -+-y  — 3r  = 4R  — 2r, 
qui  peut  servir  à trouver  les  conditions  nécessaires 
et  suffisantes  pour  que,  d’un  point  donné,  partent 
quatre,  trois  ou  deux  normales.  Elle  fera  connaître, 
au  moyen  des  coordonnées  sc,  y du  point  considéré, 
les  fonctions  spéciales  à chacune  des  cordes 
de  points- normaux,  dont  les  coefficients  angulaires 
seront  ensuite  racines  d’nne  équation  du  second  degré. 
Si  toutes  les  valeurs  de  X sont  réelles,  il  y aura 
d’où  d -+-  d' -+-  d,"  = R -4-  r. 
C’est  le  théorème  de  Carnot. 
Semblablement 
d'H-d"—  d = 0L—  f?, 
d-t-d"—  d'=ß  — R, 
d d'  — d"  = y — R. 
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