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Bulletin  physlco  * mathématique 
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Corollaires.  1.  La  surface  du  triangle  ouVraßy 
sera  donc  égale  à 
'y' (d-t-d  -t-d  — R') Jl-t-d  -t-d  — d^R-t-d-t-d  — d )(R-t-d-t-d — d ). 
2.  4 R2  — 4d2  ou  a2  = ( a — r)  (ß  — i-  y)- 
De  même 
t>2  = (ß~ r)(tt  + lf),  c2  = (Y  — r)  (a-+-ß); 
a,  b,  c sont  les  côtés.  Alors  16R2£2  ou 
(a+ß+y-T)2mßy=(a-r)  (ß-r)  (y-r)  (ow-ß)  (ß+y)  (a+y), 
identité  qu’on  vérifiera  directement,  en  se  rappelant 
qUe  j_  = i j_  i 
r a ß y* 
Problème. 
Étant  données  les  distances  du  centre  du  cercle 
circonscrit  aux  côtés,  construire  le  triangle. 
il  vient  immédiatement 
1 
i + /+  d"—  R 
1 1 1 
R -+-  d!  -+-  d"—  d R •+-  d -+-  d"—  d' R -+-  d d'  — d"’ 
OU 
(d— r-  d — i —d  — R)  (R-t-d-t-d  — d ) ( R-t—d  — i -d — d")— i— 
(d-t-d'- 4- d"—  R)  (R-*-d'-t- d"—d)  (R-i-d-t- d'—d") -+- 
(d-t-d  —i—  d — R)  (Il—t—d  ~t-  d — d)  (/{  —h  d—t—  d — d ) — 
(. R -+-  d'-t-d"—d)  (R-+-d-t-  d"—d')  ( R -+-  d'-t-d—d")  = 0 
équation  du  3e  degré  en  R,  qui  est  la  dérivée  de 
celle-ci: 
(d-t-d'-t-d"-R)  (R+d'-+-d"-d)  (R-*4*-d"-d) (R+d-t-d'-d") 
= 0.  Ainsi  elle  a ses  racines  réelles  et  leur  sépara- 
tion est  effectuée  sur  le  champ. 
Ce  problème  se  ramène  à un  autre  de  YArithmetica 
universalis.  Que  l’on  prenne,  en  effet,  pour  sommets 
d’un  quadrilatère  inscrit  au  cercle,  deux  des  sommets 
B,  C du  triangle  et  les  symétriques  A[  B'  de  A,  B par 
rapport  au  centre  0.  Les  côtés  BAr,  A'  C , B C auront 
pour  longueurs  2d",  2d',  2d.  Par  conséquent  la  question 
se  réduit  à trouver  un  cercle  tel  que  l’on  puisse  in- 
scrire dans  sa  demi-circonférence  trois  cordes  consé- 
cutives égales  aux  lignes  2d,  2d'  2d". 
Le  quadrilatère  est,  en  outre,  équivalent  au  trian- 
gle, équivalence  qui  explique  la  valeur  ci-dessus  de 
la  surface. 
Problème. 
Étant  données  les  distances  du  centre  du  cercle  in- 
scrit aux  sommets,  construire  le  triangle. 
Ce  problème  coïncide,  au  fond,  avec  le  précédent. 
Pour  le  montrer,  imaginons  le  triangle  AJi^C^  formé 
par  les  milieux  des  arcs  que  soustendent  les  côtés  du 
triangle  ABC.  Son  point  de  rencontre  des  hauteurs 
est  précisément  au  centre  / du  cercle  incrit  de  ce 
dernier.  Cela  posé,  l’on  verra  que 
A J . AI  = B J . BI  = CJ . CI  = 2 Rr, 
au  moyen  de  triangles  semblables  qu’il  est  aisé  d’a- 
percevoir. D’ailleurs  AJ, ...  . sont  doubles  en  lon- 
gueur des  distances  du  centre  du  cercle  circonscrit 
aux  côtés  AJiv  BfCv  AJV  Représentons  AI,  BI,  CI 
par  b,  b'  b". 
L’égalité  du  problème  précédent  étant  appliquée , 
j’aurai: 
1 
1 
Rr 
8 
Rr  Rr 
R 
,,  Rr  Rr 
Rr 
~~8 
D 
1 
1 
-T“ 
R 
Rr  Rr 
Rr  1 
n Rr  Rr 
S+ï+7- 
Rr 
H~  8 ~+~  8rr 
T 
T1 
1 
1 
î 
1 1 
1 
1 1 1 
1 
8 
h“¥'+' 
r 
r d!  8" 
T 
i 
1 
1 1 JL _1_  J_  _1_  V 
8"  d'  r 8 d'  8" 
On  parviendra  donc  à une  équation  du  3e  degré  en 
r,  ayant  ses  racines  réelles. 
Observation.  De  ce  que  AI . AJ  — BI . B J = 
CI.  CJ  — 2Rr,  il  résulte  2Rr  — R2  — Io~2  ou  Io~ 2 
= R2  — 2 Rr.  C’est  la  relation  découverte  par  Mai- 
sonneuve après  Euler. 
