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Bulletin  physico  - mathématique 
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accord  de  la  théorie  avec  la  pratique  j’ai  pris  la 
moyenue  des  deux  résultats  = 50^41699.  Quant  à la 
grandeur  de  la  nutation  il  faut  se  souvenir,  que  la 
théorie  des  probabilités  a conduit  Laplace  à cette 
conclusion  qu’elle  doit  rester  entre  9,3 1 et  9"94. 
Après  avoir  déterminé  les  grandeurs  moyennes  de 
l’un  et  de  l’autre  phénomène  par  rapport  dans  le  cas 
de  l’écliptique  fixe,  il  fallait  passer  à la  composition 
des  formules,  où  seraient  prises  en  considération  les 
variations  dans  la  position  de  l’écliptique  par  l’effet 
des  planètes.  Dès  l’abord  même  de  la  solution  de 
cette  question,  des  formules  générales  de  la  théorie 
de  la  rotation  de  M.  P o in  sot  se  déduisent  par  le 
simple  calcul,  les  élégantes  formules  connues  d’Eu- 
ler pour  la  rotation  des  corps  libres  et  sur  lesquelles 
n’agissent  point  de  forces  étrangères,  et  en  même 
temps  les  fondements  du  calcul  montrent  qu’e//es  expri- 
ment les  variations  des  vitesses  composantes  de  rotation  par 
les  forces  centrifuges.  Il  n’est  pas  inutile  de  remarquer 
qu’ici  la  simplicité  et  l’évidence  du  but  des  calculs 
proviennent  de  ce  qu’ils  sont  fondés  sur  la  notion 
préalable,  que  les  quantités  p,  </,  r ne  sont  pas  des 
signes  d’abréviation  des  expressions  algébriques,  mais 
des  signes  des  vitesses  composantes  de  la  rotation. 
En  ajoutant  aux  formules  d’Euler,  formées  de  cette 
manière,  les  couples  issus  des  forces  étrangères,  nous 
obtiendrons  les  formules  générales  de  la  rotation  et 
nous  comprendrons  tout  de  suite  ce  qui  est  néces- 
saire pour  achever  la  question  où  l’on  demande  de 
déterminer  la  position  de  l’axe  instantané  dans  l’es- 
pace, dont  les  projections  sur  les  trois  plans  des 
coordonnées  se  présentent  d’elles -mêmes,  parce  que 
les  quantités  p,  q,  r sont  connues  de  grandeur  et  de 
position.  Mais,  comme  selon  les  lemmes  fondamentaux 
de  M.  Poinsot,  chaque  couple  accélérateur  déplace 
' l’intersection  de  l’écliptique  avec  l’équateur  et  incline 
l’axe  de  la  rotation,  tantôt  d’un  côté,  tantôt  de  l’au- 
tre, par  rapport  à l’axe  de  l’écliptique,  il  en  résulte 
la  nécessité  d’exprimer  la  projection  de  cet  axe  par 
des  quantités,  qui  déterminent  la  position  des  axes, 
prises  sur  l’écliptique  par  rapport  aux  axes  prises  sur 
l’équateur.  De  là  résultent  de  nouvelles  expressions 
des  quantités  p,  <7,  r,  et  le  sens  géométrique  de  ces 
expressions  est  aisément  représenté  par  l’inclinaison 
de  l’écliptique  sur  l’équateur  et  par  les  angles  que 
forme  la  ligne  des  équinoxes  avec  les  axes  sur  l’éclip- 
tique et  sur  l’équateur.  Cette  transformation  simple 
et  indispensable  des  coordonnées  conduit  aux  for- 
mules connues,  qui  expriment  les  variations  de  l’in- 
clinaison de  l’axe  de  la  rotation  sur  l’axe  de  l’éclip- 
tique et  les  variations  dans  la  position  de  la  ligne 
des  équinoxes  au  moyen  des  quantités  p , <7,  r et  de 
l’angle  formé  par  cette  ligne  avec  un  des  axes  sur 
l’équateur.  Ainsi  la  solution  théorique  générale  de  la 
question  s’achève  tout  simplement  et  avec  l’évidence 
complète  de  la  nécessité  des  calculs,  indiquée  par  le 
sens  du  problème,  qui  reste  toujours  devant  les  yeux 
de  l’analyste. 
L’application  de  cette  solution  à la  rotation  de  la 
Terre , qui  est  sujette  à l’action  du  soleil  ou  de  la 
lune,  commence  par  la  formation  des  expressions  de 
trois  couples  qui  proviennent  des  forces  étrangères 
et  agissent  dans  les  plans  coordonnés  zy , zx,  et  xy  ; 
le  dernier  de  ces  couples  est  nul.  Après  avoir 
déterminé  les  couples  et  prenant  la  Terre  pour  un 
ellipsoïde  de  révolution , nous  en  déduisons  d’a- 
bord de  nouveau , que  la  vitesse  de  la  rotation  du 
sphéroïde  terrestre,  calculé  sur  l’axe  de  sa  figure,  ne 
change  pas.  Puis  en  échangeant  dans  les  formules  j 
générales,  qui  expriment  les  vitesses  de  la  précession 
des  équinoxes  et  de  l’oscillation  de  l’axe  terrestre,  ; 
les  coordonnées  du  corps  attirant  relativement  aux  ! 
axes  principaux  du  sphéroïde  terrestre  pour  les  coor- 
données relativement  aux  axes,  prises  sur  l’écliptique,  i 
nous  verrons  que  l’angle  formé  par  la  ligne  des  équi- 
noxes avec  un  des  axes  principaux  s’élimine  par  le 
calcul  même,  et  non  en  rejetant  des  membres  multi-  ; 
pliés  par  les  cosinus  et  les  sinus  de  cet  angle  doublé,  i 
et  les  formules  de  Poisson  s’obtiennent  sans  l’aide  j 
de  nombreux  calculs  auxiliaires. 
La  substitution  des  quantités  astronomiques  dans  | 
ces  formules,  avec  la  prise  en  considération  des  va-  j 
riations  séculaires  ne  présentent  plus  aucune  diffi- 
culté et  il  ne  reste  donc  pour  achever  la  revue  de  1 
mon  mémoire  qu’à  en  indiquer  les  résultats  princi-  ! 
paux.  Le  coefficient  de  la  précession  sur  l’éclip-  j 
tique  mobile  se  trouve  être  5 0^3  3551,  et  le  coef-  ! 
ficient  de  la  nutation  9^23526.  Il  est  remarquable  j 
que  M.  Le  Verrier  adopte  aussi  dans  le  second  tome  i 
des  «Annales  de  l’Observatoire  de  Paris»  pour  le  i 
coefficient  de  la  nutation  9^23,  c’est-à-dire  le  même  { 
nombre,  qui  résulte  du  nombre  50^41699,  exprimant  i 
