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BULLETIN 
DE 
Tome  XVII. 
N2  28. 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE  L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES  DE  ST.-PÉTERSBOURG. 
Le  prix  d’abonnement  par  volume , composé  de  36  feuilles, 
est  de 
3 rb.  arg.  pour  la  Russie, 
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bourg,  11.  Perspective  de  Nevsky;  au  Comité  administratif  de  l’Aca- 
démie (KoMi-iTeT'BlIpaBJieHm  HjineparopcKofi  Ana^eMin  Haynu»), 
et  chez  M.  Leopold  Yoss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  NOTES.  27.  Sur  un  cas  spécial  qui  se  présente  dans  la  transformation  des  intégrales  multiples.  Bounia- 
kofsky.  28.  Sur  deux  nouveaux  muscles  surnuméraires  du  bras.  Gruber.  BULLETIN  DES  SÉANCES.  ANNONCE 
BIBLIOGPAPHIQUE. 
NOTES. 
27.  Considérations  sur  un  cas  spécial  qui  se 
PRÉSENTE  DANS  LA  TRANSFORMATION  DES  IN- 
TÉGRALES MULTIPLES,  PAR  Y.  BOUNIAKOF- 
SKY.  (Lu  le  10  décembre  1858.) 
Les  considérations  que  nous  allons  exposer  ont  pour 
objet  de  faire  voir  qu’il  n’est  pas  toujours  permis,  dans 
la  transformation  des  intégrales  multiples,  d’employer 
le  changement  usité  des  variables  indépendantes,  du 
moins  en  ce  qui  concerne  leurs  limites. 
Supposons,  pour  fixer  les  idées,  que  nous  ayons  une 
intégrable  double. 
f/F(x,y,  \\x.)dxdy, 
x et  y étant  considérées  comme  représentant  des  co- 
ordonnées rectangulaires,  et  la  fonction  sous  les  signes 
d’intégration  contenant  deux  paramètres  constants  X,  p.. 
Admettons  que  la  première  intégration  s’effectue  par 
rapport  à y depuis  zéro  jusqu’à  x,  c.-à-d.  qu’elle  soit 
étendue  à toutes  les  valeurs  de  y inférieures  à x. 
Quant  à l’intégrale  par  rapport  à #,  elle  est  prise 
pour  toutes  les  valeurs  positives  de  cette  variable, 
par  conséquent  depuis  x = 0 jusqu’à  x = -+-  Soit 
(f)  A.cp(X,p.)  = f*F(x,y,\}F)dxdy 
le  résultat  de  cette  double  intégration,  N représen- 
tant un  facteur  constant,  indépendant  de  X et  p..  Le 
produit  N . 9 (X , p.) , dans  un  grand  nombre  de  cas, 
pourra  devenir  infini,  ce  qui  arrivera  quand  le  fac- 
teur N sera  infiniment  grand.  Cela  posé,  s’il  s’agis- 
sait de  transformer,  dans  l’intégrale  (1),  les  coordon- 
nées rectangulaires  x , y en  d’autres,  par  exemple  en 
coordonnées  polaires  r,  9,  on  supposerait 
ou  bien 
a:  = rcos<p,  y^rsincp, 
tang9  = ^-,  r = Vx2-t-  y2. 
De  plus,  comme  l’élément  dxdy  devra  être  remplacé 
par  nZrcûp,  on  aura 
ffF  (x,  1/,  X,  p.)  dx  dy  = J'fF ( r cos  9,  r sin  9,  X,  jjl)  rdrdy. 
Pour  ce  qui  concerne  les  limites,  il  semblerait  que 
celles  de  l’intégrale  par  rapport  à 9 devraient  être 
0 et  et  celles  de  r,  o et  + En  effet,  comme 
l’intégrale,  par  rapport  à y,  doit  être  étendue  à toutes 
les  valeurs  de  cette  variable  inférieures  à x , on  de- 
vrait avoir 
tang  9 = A-  < 1, 
c’est  à dire  9 < et  égal  à à la  limite.  Quant 
aux  limites  de  r,  elles  sont  en  effet  0 et  -+-  <*>,.  comme 
on  le  voit  directement.  Il  semblerait  donc  que  la  va- 
leur de  l’intégrale 
(3)  J'  /^F(rcos9,rsin9,X,p.)rdrd9 
dût  être  identique  avec  celle  de  l’intégrale  (1),  et 
égale,  par  conséquent,  à iV.9(X,  p.).  Or,  c’est,  ce  qui 
n’aura  pas  toujours  lieu,  et  la  nouvelle  intégrale,  au 
