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Bulletin  pliysico  - anatliématiqjiie 
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lieu  d’être  exprimée  par  le  produit  iV.9(X,  p),  sera, 
en  certains  cas,  égale  à A.4>(X,  p),  les  deux  fonctions 
9 et  4>  différant  entr’elles.  De  cette  manière  le  rapport 
iV.cp  (X,  (x) cp  (X, 
JV-4  (X,  (J.)  4 (X,  \x) 
des  deux  intégrales , au  lieu  de  se  réduire  à V unité, 
sera  égal  à une  certaine  fonction  de  X et  p. 
Pour  se  rendre  compte  de  ce  paradoxe  apparent, 
il  suffit  d’observer  que  dans  l’intégrale  (2)  relative 
aux  coordonnées  polaires,  il  entre  des  éléments  qui 
ne  se  trouvent  pas  dans  l’intégrale  (1),  c.-à-d.  dans 
celle  qui  se  rapporte  aux  coordonnées  rectangulaires. 
En  effet,  admettons  que  la 
ligne  OA  (Fig.  1)  repré- 
\ sente  la  limite  des  valeurs 
\ de  a;,  et  soit  par  consé- 
nn  \ quent  infinie.  La  ligne  AB 
\ étant  supposée  égale  à OA, 
J l’intégrale  (1),  eu  égard  à 
A p c la  condition  y <#,  devra 
être  étendue  à tous  les  élé- 
ments de  la  surface  du  triangle  rectangle  OAB.  Après 
le  changement  des  coordonnées  rectangulaires  en  co- 
ordonnées polaires,  il  est  visible  que  l’intégrale  (2)  se 
trouvera  étendue  à tous  les  éléments  de  la  surface  du 
secteur  circulaire  OCB , et  contiendra  de  cette  manière 
un  surplus  d’éléments,  nommément  ceux  qui  sont  re- 
latifs au  segment  ACB;  ainsi,  l’élément  en  m , corre- 
spondant à l’abscisse  Op  et  à l’ordonnée  pm , ne  se 
trouve  pas  parmi  ceux  de  l’intégrale  (1).  Par  consé- 
quent, pour  rétablir  l’égalité  entre  les  deux  intégrales 
(1)  et  (2) , il  faudrait  retrancher  de  la  seconde  la 
somme  des  éléments 
F ( r cos  9 , r sin  9,  X,  p)  rdrdy, 
étendue  à tous  les  points  du  segment  ACB.  A la  véri- 
té, cette  somme  peut  quelquefois  s’annuler,  et,  en 
tout  cas,  pour  des  valeurs  infinies  des  intégrales  (1) 
et  (2),  elle  n’aura  aucune  influence  sur  le  résul- 
tat final.  Mais  il  est  des  questions  dont  la  solution 
dépend,  non  de  la  valeur  absolue  de  l’intégrale  dont 
il  s’agit,  mais  de  son  expression  en  fonction  des  pa- 
ramètres X et  p.  Dans  de  tels  cas  il  faudra  nécessai- 
rement tenir  compte  de  l’observation  que  nous  venons 
de  faire. 
Pour  montrer  que  ce  qui  vient  d’être  dit  trouve 
des  applications,  proposons  nous  de  résoudre  la  ques- 
tion suivante  qui  n’est  pas  sans  intérêt: 
Etant  donnée  l'expression 
Vx2  -+-  y2, 
on  demande  de  déterminer,  par  la  méthode  des  moindres 
carrés,  la  fonction  linéaire 
\x  -+-  p .y 
qui,  sous  la  condition  y <i  x,  s'écarte  le  moins  possible  de 
la  valeur  du  radical  Yx2  -+-  y2. 
Pour  résoudre  cette  question  il  faudra  visiblement 
trouver  les  valeurs  de  X et  p.  qui  rendent  minimum 
l’intégrale 
/o  L y2  — 'kx — V-VŸ  dx 
l’intégration  par  rapport  à y étant  effectuée  depuis  0 
jusqu’à  x,  et  relativement  à a;,  . depuis  0 jusqu’à 
En  nou^  conformant  à ce  qui  a été  dit  plus  haut,  re- 
présentons cette  intégrale  par  le  produit  A.9(X,  p); 
de  plus , pour  préciser  le  facteur  infini  N,  désignons 
par  A la  limite  supérieure  de  x,  limite  qui  sera  censée 
égale  à -t-~;  de  cette  manière  nous  aurons 
(S)  N.  9 (X,  p)  = ^ y (V  x2  -t-  y — \x  — p y)2  dx  dy. 
En  développant  le  carré  indiqué,  et  en  effectuant 
l’intégration  par  rapport  à y,  on  trouvera,  toute  ré- 
duction faite, 
N- 9 (X,  P)  = [X2  H-  \ p2  H-  Xp  — . 
(V2n-logU-»-V2))X—  1(21/2—  l)p -h  f"x3dx, 
et  par  suite 
iV.9(X,  p)  = 
^[3XVpV3Xp-3(y2+log(l+y2))X-2(2y2-l)p+4].  | 
Cette  valeur  de  A.9(X,  p),  et  par  conséquent  celle 
de  l’intégrale  (3),  devient  infinie  à cause  du  facteur  J 
^ que  nous  pouvons  égaler  à A;  de  cette  manière 
nous  aurons 
m <?&*)= 
3X2-np2-i-3Xp-3[y2H-log(l-»-y2)]X-2(2y2-2)p-f-4.  I 
Cherchons  maintenant  le  minimum  de  la  fonction  1 
9(X,  p).  Nous  aurons 
