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de  I* Académie  de  Saint  ■ Pétershotirg. 
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= 6X  -+-  3 p.  — 3 (V'2  -h  log  (1  -+-  V 2)) 
= 3X  -+-  2ul  — 2 (2V2  — 1) 
d (J.  ' 
d2cp  (X,  (J.)  ß d2(p  (X,  n) Q d2 cp(X,  (J.) 0 
dX2  °’  dXdfx  °’  d(A2  ' 
Or,  il  est  facile  de  faire  voir  qu’il  n’en  est  pas  ainsi, 
du  moins  si  l’on  cherche  l’intégrale  pour  résoudre  la 
question  que  nous  nous  sommes  proposée.  Représen- 
tons  cette  dernière  intégrale  par  iV.<|>(X,  ja);  nous  au- 
rons 
D’après  ces  dernières  valeurs  on  voit  immédiatement 
que  les  conditions  du  minimum  sont  satisfaites;  en 
effet,  les  dérivées  partielles  et  ^ sont  toutes  deux 
positives , et  l’on  a de  plus 
d2< p d2<p 
dX2  * dfi2 
> 
( <*2cp  V 
\dXd[A  / 
, car  6 X 3 > 3. 
Pour  déterminer  les  valeurs  de  X et  p.  qui  fournis- 
dcp 
dix 
sent  le  minimum , il  faut  faire  ^ = O,  ^7  = 0 , ce  qui 
conduit  aux  deux  équations 
2 X -h-  [a  = l/2  -h  log  ( 1 -+-V2) 
3X  h-  2p.  = 4 ]/2  — 2, 
dont  la  résolution  donne 
X = 2 — 2V2h-  2 log(l  -+-V2)  ==  0,934318, 
Ix=5y2  — 4 — 31og(l  H- T/2)=  0,426949. 
Ainsi,  en  définitive,  d'après  la  méthode  des  moindres 
carrés , la  représentation  linéaire  la  plus  avantageuse  de 
la  valeur  du  radical  y x -t-  y1  sera 
(<S)  VxI~T~yî  = 0,9343. ..x -+-  0,4269. ..y, 
la  variable  y étant  supposée  inférieure  à x. 
Reprenons  maintenant  l’intégrale  (3)  pour  la  trans- 
former en  une  autre,  exprimée  en  coordonnées  po- 
laires. Nous  allons  montrer  que,  si  l’on  ne  tient  pas 
compte  des  observations  qui  ont  été  faites  concernant 
les  limites  de  la  nouvelle  intégrale,  on  arrivera  à un 
résultat  erroné.  Faisons,  comme  plus  haut, 
# = rcos<p,  î/  = rsin9; 
la  condition  y < x s’exprimera  par  l’inégalité 
tang  9 < 1 , qui  donne  9 < 
De  plus,  en  observant  que  le  rayon  vecteur  r étant 
égal  à y x1  ~+-  y\  sa  limite  supérieure  sera  VA2  h- A2 
= Al/2,  en  conservant  à A sa  signification  primitive. 
Ainsi,  si  l’on  s’y  prend  de  la  manière  ordinaire,  on 
trouvera  que  l’intégrale  (3)  est  équivalente  à 
r*V 2 yf  , 
I / 4 (r  ■ 
•'0  •'0 
Xr  cos  9 — pir  sin  cp)2  rdrdrp. 
iV.4>  (X,  p.)  = r3dr.  f*  (1  — X cos  9 — p-shm)2^. 
•'O  •'0 
Effectuant  les  intégrations  indiquées,  on  a 
N.  4»  (X,  p.)  = ~ [3  (1%  —h  1 ) X2  h—  3 — 1)  JA2  -+-  6Xja 
— 1 2V2  . X — 1 2 (2  — V2)  p.  -+-  3tc]  , 
et  par  suite , en  faisant  ^ = JV, 
(S')  ^(X,jjl)=  3({tch-  l)X2-H3(?,7r—l)p.2-l-6XjA— 
121/2.X  — 12(2— V2)iah-3tc. 
En  comparant  cette  dernière  expression  à la  for- 
mule (4),  on  voit  de  suite  que  les  fonctions  9 (X,  ja)  et 
<!> (X,  ja)  sont  loin  d’être  identiques,  car  la  première, 
9(X,  p.),  contient  une  transcendante  logarithmique  réelle , 
tandis  que  la  seconde , 4*  Oq  !*•)  ? dépend  de  la  transcen- 
dante circulaire  tc,  entre  lesquelles  il  ne  peut  exister 
aucune  relation  algébrique. 
Si,  dans  le  but  de  résoudre  la  même  question  de 
minimum , on  opérait  sur  la  formule  (7)  comme  on 
vient  de  le  faire  sur  la  formule  (4),  on  obtiendrait, 
en  faisant  abstraction  du  facteur  commun  3, 
= (TC  H- 2)  X -t- 2tA  — 4V 2 
^=2X-^(u  — 2)n-4(2  — V2) 
d2<p  
dX2 
TU  — H* 
2, 
d2di  „ d2^ 
dfx2  ’ dXd  (x 
2. 
D’abord  il  est  visible  que  les  conditions  du  mini- 
mum sont  satisfaites , car  les  quantités  7c  h-  2 et  tc  — 2 
sont  toutes  deux  positives , et  que  de  plus 
(tc  -t-  2)  (tc  — 2)  ==  tc2  — 4 > 22 
puisque 
tc2  — 4 = 5,86960.  . . 
Pour  avoir  les  valeurs  de  X et  p.  qui  correspondent 
au  minimum  cherché,  on  fera  ^ = 0,  ^ = 0,  ce  qui 
conduira  aux  équations 
(tc  h-  2)X  h-  2[a  = 4 y 2 
2Xh-(tc  — 2)[a=  4(2  — y 2), 
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