JV«  4M.  BULLETIN  Tome  XVII 
N2  30. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE  L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES  DE  ST.-PÉTERSBOURG. 
Le  prix  d’abonnement  par  volume , composé  de  36  feuilles, 
est  de 
3 rb.  arg.  pour  la  Russie, 
3 thalers  de  Prusse  pour  l’étranger. 
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bourg,  11.  Perspective  de  Nevsky;  au  Comité  administratif  de  l’Aca- 
démie (KoMiiTeTï.IIpaB.iieHiH  H tinepaTopcKofi  AnaxeMin  Haynt), 
et  chez  M.  Leopold  Voss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAI  II  E.  MÉMOIRES.  9.  Des  relations  qui  existent  entre  les  rayons  des  huit  cercles  tangents  à trois  autres,  et  entre 
les  rayons  des  seize  sphères  tangentes  à quatre  autres.  Mention.  RAPPORTS.  6.  Compte  rendu  général  sur  les  résultats 
botaniques , obtenus  pendant  un  voyage  dans  les  régions  Aralo  - Caspiennes  en  1887  et  1888.  Borstciiof.  BULLETIN 
DES  SÉANCES.  CHRONIQUE  DU  PERSONNEL. 
MÉMOIRES. 
9.  Des  relations  qui  existent  entre  les 
RAYONS  DES  HUIT  CERCLES  TANGENTS  À TROIS 
AUTRES,  ET  ENTRE  LES  RAYONS  DES  SEIZE 
SPHÈRES  TANGENTES  À QUATRE  AUTRES;  PAR 
M.  J.  MENTION.  (Lu  le  26  novembre  1858.) 
Dans  les  Annales  de  Gergonne  (tome  19,  page  182), 
on  demande  d’assigner  les  deux  relations  distinctes 
entre  les  huit  rayons  des  cercles  qui  en  touchent  trois 
autres,  et  les  six  entre  les  rayons  des  seize  sphères 
tangentes  à quatre  sphères  données.  Je  crois  que  ce 
problème  n’a  pas  été  résolu:  peut-être  ne  lira-t-on 
pas  sans  intérêt  quelques  détails  qui  seront  présentés 
par  nous  à ce  sujet. 
Les  relations  qu’il  faut  assigner  sont,  dans  le  cer- 
cle, l’une  du  premier  degré  et  l’autre  de  degré  su- 
périeur entre  les  inverses  des  quantités  quelles  con- 
tiennent ; et , dans  la  sphère , quatre  sont  du  premier 
degré,  et  deux  du  septième.  Celles  du  premier  degré 
nous  arrêteront,  ici,  à cause  de  leur  simplicité.  Afin 
d’apporter  plus  de  clarté  dans  notre  solution,  nous 
résoudrons  deux  problèmes  subsidiaires. 
§f. 
Trouver  la  condition  pour  que  trois  cercles  aient  une  tan- 
[ genle  commune.  Puissance  de  leur  centre  radical. 
Je  désignerai  par  II,  II',  R''  les  rayons  des  cercles; 
d,  d!,  d"  les  distances  de  leurs  centres,  opposées  respec- 
tivement aux  cercles  R , R',  R ".  Cherchons  les  distances 
des  centres  aux  axes  de  similitude,  en  fonction  de 
R,  R',  R''d,  d' d". 
Soient  s"  s les  centres  de  similitude  externe  des 
cercles  (R,  R ),  ( R , R ®);  p étant  la  distance  du  centre, 
opposé  à d",  à l’axe  s" s,  on  aura 
2 ' i 
p .SS 
d,’  2 R2 
d'2ß2 
4Ä4J2 
(R -B') 2 ’ (R- R") 2 Sin  (d,d  ) — (R  — R')2  (R-Rff 
T surface  du  triangle  ( d ’ d',  d").  Or 
' 1/2  d"2R2 
ss 
d'2R2 
[R  — R") 2 
d'd  R2 
-1  (R  — R')  {R-t-R") 
7 cos  (d"  d ') 
d'2R 2 d'2J}2  /}2(d'2_Hd"2_d2) 
“ [R  — R'f  ~+_  (R—R'f  (R  — R')  {R  — R")  * 
De  là, 
2 4ß2T2  
P — d"2  (if  R")+d'2{R—R')R"—  R')*-d2(R  — R')(R—RÏF) 
Si  l’axe  touche  le  cercle  R,  0 P = R-,  donc  la  con- 
dition demandée  est  2d2  (R  — R')  (R  — R")  = 4 T2. 
La  tangente  commune  doit-elle  être  extérieure  par 
rapport  à deux  des  cercles  seulement,  R et  R?  alors 
d"2  (R  — i—  R')  (R'  — i—  R")  — d'2  (R  — R)  (R'  h-  R ') 
H-  d2(R  -4-  R")  {R— R)  = 4 712. 
Puissance  du  centre  radical.  Les  carrés  des  distances 
de  ce  point  aux  centres  des  cercles  sont  t 2 -t-  R 2, 
i2  -+-  R 2,  t2-t~  R"2;  t 2 puissance  du  centre  radical.  Par 
conséquent,  l’équation  tétragonométrique  de  Gold- 
bach  fournit 
