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Bulletin  physico  » matBiématique 
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{f  —4—  R2)  d 2 (<2  — I—  /î'2  -4-  R"2  — R2  d'2  — I—  d"2  — d2) 
-4-  (t2  H-  Ä'2)  d'2  (f2  —4—  R2  — I—  Ä"2  — ft'2  -4-  d2  -4-  d"2  — d'2) 
-+-  (i2  h-  R"2)  d"2  (t2  -4-  R2  -+-  /i'2—  R '2  -e-  d2  -4-  d'2  — d"2) 
— d2d'2d,/2 — d2(l2-+-  R'2)  {t2- 4-  /C2)—d'2(*2-«-  R2)  (t2- 1-  Rn) 
— d"2  (<2  -4-  Æ2)  (r  h-  /i'2)  ==  0 , 
ou  1 6 <2r2  = 2Ä4d2  — 2fi2ß 2 (d2  -4-  d'2  — d"2) 
— ZR2d2  (d'2  -4-  d"2  — d2)  -4-  d2d'2d"2. 
Remarque.  Si  au  lieu  de  I2  -4-  Æ2.  . Ton  prenait 
i2 — Z?2,  . . . .,  on  obtiendrait  le  rayon  du  cercle  cou- 
pant les  proposés  suivant  des  diamètres. 
Quand  le  second  membre  devient  nul , les  trois 
cercles  ont  un  point  commun. 
§*. 
Trouver  la  condition  pour  que  quatre  sphères  aient  un  plan 
tangent  commun.  Puissance  de  leur  centre  radical. 
J’appellerai  R:R',R'R"  les  quatre  rayons;  d,  d' d"d'  ' 
....  les  distances  des  centres.  Cherchons  les  distan- 
ces des  centres  aux  plans  de  similitude,  en  fonction 
des  rayons  et  des  éléments  du  tétraèdre  (d, d'd".  . .). 
Soient  s'  s" s"  les  centres  de  similitude  externe  des 
sphères  (R]  R),  (R,  R"),  (R,  R")  ; À,  R , C,  D les  centres 
des  sphères  /i,  R',  R",  R " et  les  faces  respectivement 
opposées  à ces  points. 
Ici 
Or 
P‘ 
vol  Ass's" 
9 vol2 ( Ass's"') 
surf2«'«  t" 
vol  (d,  d',d''...)R3 
(. R — R' ) (R—  fi")  (fi  — fi"V 
s s s = Ass 
A " " 
As  s 
Ass 
— 2 As  s . As 's"  cos  {Ass"As's") — . . . 
ß2fi4 
B2  R* 
C2R* 
(fi  — fi')2  (fi  — fi")2  (fi  — fi")2 (fi  — fi'")2  (fi  — fl')2(fi— fi'")2 
D’où 
0 fififi4cos(ß,  D) 
1 (fi— fi')  (fi— fi")2  (fi— fi'")  ‘ 
9 F2  fi2 
ÏD2  (R— R’")2  — 2 Sfifi  cos  (fi,  fi)  (fi—  fi  ) (fi  — fi  ) 
9F2fi2 
2fi2fi"'2—  2Sfifl'r'/4Dcos  (a,  fi)’ 
expression  qu’il  ne  serait  pas  difficile  de  transformer 
en  une  autre  renfermant  les  arêtes  d, d'd".  . . . 
Si  le  plan  de  similitude  touche  la  sphère  R,p  = R; 
donc  la  condition  demandée  est 
9 V2  — 2D2 R"  2 — 2 2RR'"AD  cos  (J,  D). 
On  changera  les  signes  d’un  ou  deux  rayons,  quand 
le  plan  tangent  devra  laisser  au  dessous  de  lui  une 
sphère  ou  deux. 
Puissance  du  centre  radical.  L’équation  aux  130  ter- 
mes découverte  par  Carnot  ( Mémoire  sur  la  relation  qui 
existe  entre  les  distances  respectives  de  cinq  points , etc.  page 
48)  conduirait  à des  calculs  sans  portée,  si  je  ne  lui 
faisais  subir  la  transformation  suivante  qui  procure  du 
reste  un  théorème  assez  curieux.  On  parviendrait  à 
la  formule  elle -même,  par  le  secours  d’un  théorème 
de  M.  Staudt:  voici  comment. 
Le  point  quelconque  if,  joint  aux  quatre  autres 
A,B,C,D,  déterminant  quatre  tétraèdres  de  volumes 
v1,v2,v3,vi,  on  aura: 
V1  —4-  V2  —I—  Vs  —4—  V/t  — V,  OU  V -t-v9 -H  V,3 V { - F, 
ou  enfin  v1  -4-  v2  — v3  — vi  = V. 
D’où,  par  exemple,  2u12-4-22r1t'2=  F2.  Or  v2,  v2.., 
s’exprimeront  par  les  carrés  des  distances  des  cinq 
points  entre  eux;  et  M.  Staudt  a prouvé  ’)  que  le 
produit  des  volumes  de  deux  polyèdres  est  nécessai- 
rement une  fonction  algébrique  entière  des  carrés  des 
lignes  qui  joignent  tous  les  sommets  de  l’un  à ceux 
de  l’autre.  Les  produits  vx  v2  seront  de  semblables 
fonctions .... 
Que  l’on  veuille  bien  prendre  la  peine  d’examiner 
attentivement  la  formule  aux  130  termes,  et  l’on  ob- 
servera que,  pour  quatre  des  dix  longueurs  3,  ù,  /, 
issues  d’un  même  point  M: 
1°  Les  termes  en  2 fg2  ont  pour  multiplicateurs  les 
termes 
— 2 p2r2  — 2 m2n2  — qs2  -4-  m2s 2 h-  m2r2  -4-  nq 2 
2 2 2 2 \ 
-h  t s h—  r q — r. 
2°  Les  termes  en  f4  sont  multipliés  par 
m'1  -4-  q2  -4-  r'  — 2 m2q  — 2 m2r2  — 2 q2r2. 
3°  Les  termes  en  2 f2  ont  pour  facteurs 
— m's2  — q'n2  — r'p1  — 2 ni2q2r2  -4-  m2n2q2  -+-  r 
-4-  mr  s -4-  m p r -4-  n'q  r 
4°  Le  terme  indépendant  est 
■p-qr 
misi-t-ripi  -4- n'q'  — 2 m2s2r2p2—~  2 r2p2n2q2 — 2 m2s2n2q2. 
Actuellement,  que  l’on  considère  la  pyramide  aux  six 
1)  Voir  le  journal  de  Grelle  t.  XXIV,  ou  les  Nouvelles  Annales 
t.  XI,  page  299. 
