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de  l’ Académie  de  Saint- Pofersbotirg. 
ITO 
arêtes,  m,s,  r,p,  n,  q\  adoptant  la  notation  de  nos  Re- 
marques sur  la  pyramide  triangulaire , quant  aux  faces 
et  à leurs  angles,  on  verra  que  les  multiplicateurs  sus- 
énoncés  sont 
1°  les  produits  16ßCcos(ß,  (7), 
2°  — 16  A2, 
3°  2.144  Vva, 
4°  — 1 44.4F2//2.  J,  ß,  C,  D les  quatres  faces; 
va,  vb , vc,  vd  les  volumes  partiels  dans  lesquels  le  centre 
0 de  la  sphère  circonscrite  à ABCD  le  décompose;  R 
le  rayon  de  cette  sphère. 
Donc  la  formule  de  Carnot  se  peut  écrire  ainsi: 
2 2 (Ml2 . DM2 AD  cos  AJ))  — 2 (Æ" . A2) 
-+-  36  F2  (ÂM\)  — 36  V2 R2  = 0 
ou  2 (MP  A2)—  2 2 (M2.  DM2  AC  cos  ÂJ)) 
= 36  V2 .MO2. 2) 
Comme  vérification,  soit  le  point  M au  centre  de 
la  sphère  circonscrite,  22  (AD  cos  A,  D)  = 2L42;  ce  qui 
est  connu.  Soit  le  point  M au  sommet  D, 
2Zd'*  . ,42  — 22  (ID2 . BD2  cos  JB  .AB)=  36  V2R2, 
ce  qui  est  conforme  au  résultat  noté  dans  les  Re- 
marques. 
Mettons  dans  l’équation  de  Carnot  transformée, 
au  lieu , de  AM2,  BM2, . . . , t2  -a-  R 2,  t 2 -+-  R 2,  ...  il 
viendra 
36 12  V2  = 2^42ß4  — 22  (R2 R"2 AD  cos  JD) 
— 36  F2(ß\) -4-36  r2ß2; 
pour  la  puissance  du  centre  radical. 
Remarque.  Si,  à la  place  de  t2  -t-  R2, . . . on  mettait 
t2 — R2, . . . on  obtiendrait  le  rayon  de  la  sphère  qui 
coupe  les  proposées  suivant  des  grands  cercles. 
Quand  le  second  membre  devient  nul,  les  quatre 
sphères  ont  un  point  commun. 
S *• 
Equations  du  second  degré  entre  les  rayons  des  cercles 
tangents  conjugués 
On  nomme  cercles  conjugués  ceux  qui  touchent chac- 
2)  Il  est  clair  que,  dans  le  plan, 
2 (ÄM*  . a2)  — 22  (Ml-  .BM2  ab  cos ab)  =16  T2.  M()2  : 0 
! centre  du  cercle  circonscrit  au  triangle  ABC.  Mais  cette  transfor- 
mation ne  nous  sera  pas  indispensable. 
un  des  proposés  d’une  manière  différente.  Les  distan- 
ces entre  un  quelconque  des  centres  cherchés  et  les 
centres  donnés  étant  assujetties  à la  relation  de  Gold- 
bach,  j’aurai,  en  prenant  le  cercle  qui  touche  partout 
extérieurement 
(ß-H  P)2  (ä'-h-p  )2(dVd,2-d',2)+ (fi+p)2  (ßVp)2  (d  V d"2-  d'2) 
H-  (ßVp)2  (ßVp)2  (dVd"2—  d2)+(fi4-?)2d2(dVdœ-  d2) 
•+■  (R1  -+-  p)2  d'2  (d2  -+-  d"2  - d'2)  -t-  (ßV  p)2  d"2  ( d 2 + d'2  + d"2) 
-(R  4-  p)4 d2  - (R' -+" p)4 d'2  - (ßV  p)4  d'/2 - d2d  2d"2  = 0 ; 
p rayon  du  cercle  tangent.  Le  calcul  se  ferait  com- 
modément par  la  formule  de  Taylor  appliquée  à 
l’équation 
2ß2ß'2  (d2  H-  d'2  — d"2)  H-  2ß2d2  (d'2  h-  d"2  — d2) 
— 2ß4d2  — dW=0. 
Le  résultat  est 
4 [4  T2  — 2d2  (ß  — ß')  (ß  — ß")]  p2 
-4-  [ RR’d 2 (R -a- R)  -+-  ßß"ß2  (R— t-  R") -a-  R'  ß"f(  ß' -+-  ß*) 
— 2 ß3d2-  2ß'3d'2-  2ß'VVßd2TVß'd'2ßVßVV]  2p 
-i-  2ß2ß2a2  -i-  2ß2d2T2  — 2ß4d2  — d2d  V2 1=  0, 
où 
a2=d2-f-d'2—  d''2,  f=d2-A-d”2—  d'2,  f=dVdffl-d2 
et  le  résultat  concernant  le  cercle  qui  touche  partout 
intérieurement  ne  différera  que  par  le  signe  du  coef- 
ficient de  p. 
D’après  le  § 1,  le  terme  connu  est  négatif;  quand 
il  sera  nul,  l’équation  aura  une  racine  nulle,  ou  les 
trois  cercles  passeront  par  un  même  point.  Par  con- 
séquent, si  le  coefficient  de  p2  est  positif,  elle  a une 
racine  négative  dont  la  valeur  absolue  représente  le 
rayon  du  cercle  tangent  intérieurement,  et  l’axe  de 
similitude  ne  coupe  pas  les  cercles.  Si  ce  coefficient 
est  nul,  l’équation  aura  une  racine  infinie,  ou  les  trois 
cercles  toucheront  une  même  droite.  S’il  est  négatif, 
l’une  des  équations  en  p aura  ses  deux  racines  néga- 
tives, et  les  rayons  seront  racines  de  l’autre  ; l’axe  de 
similitude  coupe  les  cercles. 
Notre  raisonnement  suppose,  il  est  vrai,  que  les  trois 
cercles  sont  extérieurs  deux  à deux;  mais  toute  autre 
hypothèse,  faisant  disparaître  au  moins  deux  cercles 
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