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Riillotin  pliyslco  - mathématique 
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Je  vais  montrer  que  les  relations  du  premier  degré 
existent  également  entre  les  rayons  des  huit  cercles 
qui  couperaient  les  trois  proposés  sous  le  même  an- 
gle a.  L’angle  variant,  il  y a une  infinité  de  systèmes 
de  huit  cercles,  conjugués,  deux  à deux,  dans  un  cer- 
tain ordre.  On  a trouvé  3),  par  la  théorie  de  la  pro- 
jection stéréographique , que  leurs  centres  appartien- 
nent à quatre  droites  perpendiculaires  aux  axes  de  si- 
militude et  se  croisant  au  centre  radical.  Il  était  plus 
naturel  de  parvenir  au  lieu  géométrique  par  les  pro- 
priétés usuelles  des  centres  de  similitude  qui  servent 
à résoudre  le  problème  du  contact;  on  aurait  ainsi 
complété  l’exposition  de  propriétés  qui  ont  pris  place 
aujourd’hui  dans  une  foule  d’ouvrages  sur  la  géomé- 
trie. 
Menant  par  le  centre  de  similitude  (externe,  je  sup- 
pose) de  deux  cercles,  une  sécante  quelconque,  les 
points  à rayons  parallèles  sont  dits  homologues  ; me- 
nant une  seconde  sécante,  on  prouve  ce  théorème  ca- 
pital: «Les  points  non -homologues  des  deux  sécantes 
sont,  quatre  à quatre,  sur  quatre  cercles».  On  pour- 
rait prouver,  en  outre,  que  ces  cercles  coupent  les 
deux  proposés  sous  des  angles  égaux,  qu’ils  sont  iso- 
gonaux.  Alors,  le  centre  de  similitude  sera  un  point 
de  commune  puissance  par  rapport  aux  quatre  cercles: 
d’où  il  suit  que  deux  cercles,  qui  en  coupent  trois  au- 
tres sous  le  même  angle,  auront  pour  axe  radical  un 
des  axes  de  similitude.  . . . 
Ce  lieu  découle  encore  de  la  théorie  du  centre  des 
distances  proportionnelles;  car,  soit  C le  centre  d’un 
cercle  satisfaisant  aux  conditions  requises,  on  aura 
successivement: 
Co 2 
Co2 
Co "2 
D’où 
3)  M.  le  capitaine  d’artillerie  Manheim.  (Nouvelles  annales, 
tome  XII  page  113.) 
Co2  — Co 2 = R2  — R'2  — 2 9 cos  a (R  — R\ 
Co 2 — Co"2  = R2—  R"2  — 2ç>  cos  a (R  — R"), 
et  ensuite 
Co2  — co'2  -+-  R’2  — R2 R — r' 
Coz  — co"2  — R2  -+-  R"2  R — R"' 
ou  Co2 ( R ' — R")  -+-  Co2 (R"  — R)  -+-  Co"2 (R  — R) 
= (R  — R)  (R"—  R)  (R"—  R). 
Le  reste  s’achève  facilement. 
L’équation  du  second  degré  qui  fournirait  le  rayon 
du  cercle  correspondant  à un  angle  donné  a,  s’obtien-  ; 
dra  par  la  relation  connue  entre  les  carrés  des  côtés 
et  diagonales  du  quadrilatère  des  centres, 
d 2 R2- i-p2 — 2/îpcosa,  d’2  /?2-t-p2  — 2/?pcosa, 
d"2  R"2  -t-  p2  — 2 R"ç  cos  a. 
On  s’assurera  que  le  terme  en  p est  égal  à celui  de 
l’équation  relative  au  cercle  tangent,  multiplié  par 
cos  a;  et  aussi  pour  les  sept  autres  cercles  coupant 
sous  le  même  angle.  La  relation 
existe  donc  entre  les  rayons  de  ces  cercles. 
Des  sphères  qui  en  coupent  quatre  autres  sous  le  même  | 
angle. 
A l’aide  de  développements  semblables  à ceux  que 
nous  venons  de  mentionner,  et  que  nous  supprimons 
pour  ne  pas  allonger  ce  travail  déjà  trop  long,  on  ar- 
riverait à ces  deux  théorèmes: 
«Les  sphères  qui  en  coupent  trois  autres  sous  le 
même  angle  ont , toutes , leurs  centres  dans  quatre 
plans  perpendiculaires  aux  axes  de  similitude,  et  pas- 
sant par  l’axe  radical.  » 
«Les  sphères  qui  en  coupent  quatre  autres  sous  le 
même  angle  ont,  toutes,  leurs  centres  sur  huit  droites 
perpendiculaires  aux  plans  de  similitude,  et  passant 
par  le  centre  radical.» 
Les  quatre  relations  du  premier  degré  entre  les  in- 
verses des  rayons  subsistent  pour  ces  sphères. 
= jR2  — t—  p2  — 2 Rç  cos  a, 
= R’2  -+-  p2  — 2 Rç>'  cos  a, 
= R"2  -r-  p2  — 2Rç " cos  a. 
