Bulletin  physico  - mathématique 
4M 
ABcosAJÎ  . fifi'(fi-i-fi')— ACcosjÇc.  Rfi"(fi— fi") 
—AD  cos  AJ) . fifi'"(fi—  fi'")— RD  cosfi,D . R'  fi" 
(. R ' — R")  — CD  cos  . fi"fi"'  ( R"  -+-  fi"')  — 
RC  cos  fi,  C . R R"  (fi  — fi")  — A2fi3—  fi2fi'3  -«-  C2R"3 
—h  I)2fi'"3  -i-  18fiFua  — 18fi'Fu6  — 18fi"F«c  — 
18fi'"Ft>Â. 
7P  Groupe.  Système  fi-+-p6,  p6 — fi'  p6H-fi"  — fi"; 
^ficos^fi . Rfi'(R— fi')-+-4Ccosijfi.  fifi"(fi-i-fi") 
— XD  cosi^D . RR" (R—  fi  ")  — RD  cos  fi,  D . R R " 
(fi'  n_  fi'")  _ CD  cos  O • (*"  — fi")  — 
RC  cos  R^C.  R' R" (R  '—  fi')— A2R£-+-B2fi'3—  C'fi"3 
-+-  D2/?'"3  -+-  18fiFra  — 18fi'F»6  -i-  18fiF\  — 
— 18fi'"Ft>d. 
8e  Groupe.  Système  Rh-ç>7,  p7 — fi,'  p7 — fi"  p7-t-fi"'; 
P,'  — ß , P?'  # P,'  P7'  — R ' 
JficosiTfi-  fifi'(fi— fi')— ACcosA^C.  fifi"(fi— fi") 
-+-  AD  cosl> . RR  (R -+-  fi"  ) — RD  cos  R^D . fi'fi"' 
(fi'"  — fi')  — CD  cos  C^D  . fi"fi"'  (fi'"  — fi")  — 
RC  cos  R?C • fi'fi  "(fi' -+-  fi")  — A2fi3 -+-  fi2fi'3  -t-  C2fi'* 
— D2fi"  3 H-  18  fi  — 18  R'Vvb  — 18R"Vvc  -+- 
18  RVvd. 
N 0 T E S. 
30.  Sur  le  principe  de  la  moindre  action,  par 
N.  BRASCHMANN.  (Lu  le  4 mars  1859.) 
Soit  un  système  des  masses  m,  mr,  m"m  ".  . . . con- 
sidérées comme  des  points  et  sollicitées  par  des  forces 
données.  Désignons  par  X,  F,  Z les  projections  de  la 
force  accélératrice  qui  agit  sur  la  masse  m,  par  v la 
vitesse  de  cette  masse  à la  fin  du  temps  t,  et  posons 
2m  (Xdx  h—  Ydy  -+-  Zdz ) = dû,  \ 2mv2=  T;  nous  pou- 
vons écrire  l’équation  du  mouvement  du  système  sous 
la  forme  suivante 
la  caractéristique  S étant  relative  aux  déplacements 
possibles  des  masses  m,  m,'m"m"'.  . . On  voit  par  cette 
équation,  comme  M.  Ostrogradsky  l’a  prouvé  dans 
son  Mémoire  sur  les  isopérimètres,  que  dans  le  pas- 
sage d’un  système  d’une  position  à une  autre 
S / ( Il  —i—  F)  dt  ~~  0-, 
c.-à-d.  qu’entre  des  limites  données  l’intégrale 
/( n -i-  T)  dt 
est  un  maximum  ou  un  minimum.  Cependant  , dans 
les  cours  de  mécanique  qui  ont  paru  depuis  la  publi- 
cation de  ce  mémoire,  on  trouve  encore  le  principe 
de  la  moindre  action  exposé  d’après  Lagrange.  Ce 
grand  géomètre  remplace  dans  l’équation  dll=-dr 
la  différentielle  d par  la  lettre  8,  qui  se  rapporte  aux 
déplacements  possibles , et  conclut  que  2 J Tdt  ou 
fUmvds  doit  être  un  maximum  ou  un  minimum.  Quoi- 
qu’il semble  évident,  qu’on  ne  peut  pas  substituer  8 
au  lieu  de  la  différentielle  d dans  l’équation  des  forces 
vives,  cependant  il  sera  peut-être  bon  pour  ceux  qui 
étudient  la  mécanique  rationnelle,  de  prouver  encore 
par  un  exemple  simple,  que  le  vrai  principe  de  la 
moindre  action  est  celui  de  M.  Ostrogradsky,  et 
qu’il  n’est  pas  permis  de  remplacer  d par  8 dans  l’é- 
quation des  forces  vives. 
Pour  cela,  considérons  un  seul  point  soumis  à la 
condition  ASx  -+-  Rby  h-  Cbz  = 0.  Dans  ce  cas  l’équa- 
tion du  mouvement  est  pour  un  déplacement  arbi- 
traire 
H—  X (Abx  -+-  Rby  -+-  Cbz ) = 0, 
d’où  l’on  tire,  en  égalant  à zéro  les  coefficients  de  Sx, 
Sy,  bz  et  en  éliminant  X,  les  équations  suivantes 
(i) 
cx-az=c^-a% 
CY—BZ=Câj%—B^' 
dt2  " dl2' 
Remplaçons  maintenant  dans  l’équation 
Xdx  n—  Ydy  -+-  Zdz  = i d . v2 
la  différentielle  d par  S ; nous  aurons 
SU 
2 m(S8x 
dy 
by 
■ dz  ) — 8 T . 
(2)...X8*h-  Yby 
