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Bulletin  physico  - mathématique 
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MÉMOIRES. 
10.  Sur  quelques  inégalités  concernant  les 
INTÉGRALES  ORDINAIRES  ET  LES  INTÉGRALES 
AUX  DIFFÉRENCES  FINIES,  PAR  M.  IîOUNIA- 
KOFSKI.  (Extrait.)  (Lu  le  29  avril  1859.) 
La  considération  des  moyennes  arithmétiques  des 
fonctions  d’une  ou  de  plusieurs  variables  qui  varient 
par  degrés  insensibles  conduit  au  Calcul  Intégral  de 
la  manière  la  plus  naturelle,  la  plus  élégante  et  la 
plus  satisfaisante  sous  le  rapport  de  la  clarté.  Dans 
un  grand  nombre  d’applications  de  l’Analyse  trans- 
cendante, ce  point  de  vue  facilite  considérablement 
la  conception  des  relations  qui  existent  entre  les  di- 
verses données  de  la  question,  comme  on  en  peut  citer 
beaucoup  d’exemples,  entr’autres  dans  la  Théorie  des 
Probabilités*). 
Au  lieu  de  considérer  des  moyennes  arithmétiques 
comme  celles  dont  il  vient  d’être  question,  et  que 
nous  appellerons  continues , on  pourrait  traiter  di- 
rectement d’autres  moyennes,  comme,  par  exemple, 
les  moyennes  géométriques , harmoniques  etc.;  on  arri- 
verait de  cette  façon  à des  relations  qui  subsistent 
entre  celles-ci  et  la  moyenne  arithmétique.  Ainsi, 
on  pourra  exprimer,  au  moyen  des  intégrales  définies, 
une  moyenne  quelconque  d’une  fonction  donnée  qui 
varie  d’une  manière  continue.  D’un  autre  côte, 
comme  entre  des  moyennes  de  différentes  espèces  il 
subsiste  des  relations  connues  d’inégalité,  on  formera 
de  suite  -des  relations  semblables  pour  des  intégrales 
définies.  Par  exemple,  la  Proposition  qui  consiste 
en  ce  que  la  moyenne  géométrique  est  inférieure  à la 
moyenne  arithmétique , et,  en  même  temps , supérieure  à 
la  moyenne  harmonique , conduira  immédiatement  à ces 
deux  formules: 
,x  ( dx 
(.‘%)  ^ log  f (#)  dx  < (A  — x0)  log  y 
(B)  J \ogf(a)dx>(X~x0)\og 
x0 
D’une  manière  analogue  on  établira  les  inégalités 
suivantes: 
(t)  J 9 (xf . dx . / tjj (xf .dx>(^f  9 (a;)  4» (•£)  dx^, 
(E)  (f  9 (x)  dxY  < (X — x0)  fX 9 (xf . dx, 
dont  on  pourrait  encore  augmenter  le  nombre.  Il  est 
entendu  que,  dans  toutes  ces  formules,  les  fonctions 
sous  les  signes  d’intégration  sont  supposées  conti-  | 
nues  et  positives  entre  les  limites  x0  et  X 
Les  formules  (A),  (B),  ( C ),  ( D ) et  (E),  relatives  aux  j 
intégrales  définies  ordinaires,  subsistent  aussi  pour  j 
les  intégrales  aux  différences  finies  en  supposant  | 
également  que  les  fonctions  à intégrer  restent  posi- 
tives et  finies  pour  toutes  les  valeurs  attribuées  à la  | 
variable.  Supposons  que  cette  variable  reçoive  suc- 
cessivement les  x valeurs  équidifférentes 
*o>  .x0-+-x  — l = X, 
en  admettant  que  oc0  ne  soit  pas  inférieur  à 1 ; faisons 
gf(x)  = f(x0)-+-f(x0-t-l)-t-f(x0~^-2)-t-.  . . . -+-f(X),  I 
xO 
le  nombre  des  termes  du  second  membre  étant  visible- 
ment égal  à x.  Les  formules  (A),  (B),  ( C ) etc.  se  I 
trouveront  remplacées  par  les  suivantes: 
(A)  S^gf{x)<x\og 
x0 
(»')  S^gf(oc)>  x\ogf^-\ 
vw 
xo 
(«  ) SM*)2]  • VDK*)2]  > ( Vh- M <!>(«)])* 
*0  *0  *0 
(»')  Sf{x).S±_>a? 
x0  xo 
(e) 
\x0  ' 
Les  formules  (A),  (B),  (C) ....  (A') , ( B '),  (C)  ....  j 
donnent  lieu  à quelques  applications  intéressantes. 
D’abord,  comme  je  le  fais  voir  dans  mon  Mémoire,  i 
on  en  peut  déduire  un  grand  nombre  d’inégalités,  i 
plus  ou  moins  curieuses,  qui  subsistent  entre  des 
fonctions  transcendantes.  Les  deux  premières  for- 
mules (A)  et  (B),  ainsi  que  ( A ')  et  (ß),  fournissent 
*)  Voyez  à ce  sujet  mon  Traité  du  Calcul  des  Probabilités.  (Ocho- 
BaHia  MaTeMaTHHecKoü  Teopm  BipoaTHOCTeS , 1846  r.) 
