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variable avec c, tandis que la solution singulière est 

 l'équation d'un cercle de rayon a. 



On démontre dans les traités de calcul intégral, de 

 quelle manière la solution singulière se déduit de Y in- 

 tégrale générale. On élimine la constante entre l'in- 

 tégrale générale et sa dérivée par rapport à la constante, 

 égalée à zéro, ou bien, entre cette même intégrale et 

 sa dérivée par rapport à y, égalée à l'infini. 



Dans l'exemple proposé, où l'intégrale générale est : 



F — y 1 — 2 ex — â — ê = 0, on a 

 — — 2c = 0 



de 



dy u 



Cette dernière ne conduit qu'à la valeur illusoire y— 

 tandis que la première donne x = — e ; cette valeur 

 substituée dans F, donne la solution singulière : 

 + y 2 — ê = 0. 



La solution singulière est l'enveloppe des lignes re- 

 présentées par Tintégrale générale. 



Tel est le principal de la théorie que l'on donne à ce 

 sujet dans le calcul intégral. 



Lagrange publia déjà, en 1774, une théorie des 

 solutions singulières, qui étaient regardées avant lui 

 comme formant un paradoxe dans le calcul intégral. Il 

 montra comment on peut les déduire de Tintégrale 

 générale. 



Euler ayant rencontré souvent des solutions sin- 

 gulières donna, le premier, un procédé pour s'assurer 

 si une équation primitive qui vérifie une équation dif- 

 férentielle, est comprise dans son intégrale complète. 



