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Laplace découvrit leur véritable caractère; puis 

 Legendre et Poisson tirent voir que l'équation différen- 

 tielle peut être préparée de manière que la solution 

 singulière en devienne un facteur. 



C'est après toutes ces recherches et bien d'autres, 

 que j ai trouvé un procédé rapide et simple pour les 

 déduire de l'équation différentielle , sans passer par 

 l'intégrale générale. J'y suis arrivé en discutant géo- 

 métriquement une de ces équations, entre autres celle 

 que j'ai citée au commencement de cette étude. 



Reprenons l'équation différentielle : 



ydy + xdx — dx ^ x 2 + y- — a 1 



Elle est la traduction analytique de cette question : 

 Construire une courbe telle que, si on mène en un de 

 ses points une normale, et un rayon vecteur depuis 

 l'origine, l'abscisse comprise entre l'origine et l'inter- 

 section avec la normale, soit égale à la cathète d'un 

 triangle rectangle dont l'hypothénuse est le rayon vec- 

 teur et l'autre cathète soit une droite donnée «. 

 L/intégrale générale : 



y- —±cx+<? -f et 1 

 est l'équation d'une parabole dont le foyer est distant 



de l'origine de — . La constante cestle demi-paramètre. 



Supposons maintenant qu'on demande de faire passer 

 par un point du plan, dont les coordonnées sont a et p, 

 une parabole qui satisfasse à la question. 11 faudra dé- 

 terminer c au moyen de la condition 

 f = 2c.* + r + a- 

 d'où c= — *±- 0.+ «*—«*. 



