Ces deux valeurs de c montrent que par chaque 

 point du plan on peut faire passer deux paraboles qui 

 conviennent au problème, tant que 4- * 2 > a\ 

 Par exemple, si on suppose : 



a = 5, a= 5, p = 8 

 on a c— 3 et c — — 13 

 f = for + 34 ; xf = — ^ + 194. 

 Chacune de ces courbes a sa tangente distincte de celle 



de l'autre au point a, f et c'est pourquoi la dérivée || 



est au second degré dans l'équation différentielle. Les 



deux valeurs de ^ se rapportent aux deux tangentes 



que l'on peut tracer par chaque point, à chacune des 

 courbes qui peuvent y passer. 



Mais si «* + = «% c'est-à-dire si le point ou la 

 courbe doit passer, est situé sur le cercle de rayon a, 

 tracé autour de l'origine, alors les deux valeurs de c 

 deviennent égales; les deux paraboles coïncident ainsi 

 que leurs tangentes. 



Donc, pour tous les points de la circonférence 



les deux valeurs de la dérivée -£ deviennent égales. 

 La solution singulière 



est donc le lieu géométrique des points où les deux 

 paraboles, ainsi que leurs tangentes, deviennent coïn- 

 cidentes, et on l'obtiendra en écrivant la condition 

 connue qui exprime que l'équation du second degré par 



rapport à ^| , a ses deux racines égales. 



