— 60 — 



2. Riferiamo lo spazio S 3 , supposto normale, al sistema triplo ortogo- 

 nale (ui , u 2 , u 3 ) le cui linee coordinate (uCì , (u 2 ) , (u 3 ) formano le congruenze 

 principali, onde il ds z avrà intanto la forma normale 



ds 2 = E\duì + W 2 du\ + W 3 du\ . 



Essendo le direzioni principali quelle delle linee coordinate (u x ) , (u 2 ), (u 3 ), 

 saranno nulli i tre simboli riemanniani a quattro indici 



(21 , 13) , (32,21) , (13,32) 



costruiti per la forma differenziale (1): ossia le funzioni H! , H 2 , H 3 di 

 Ui , u 2 , u 3 dovranno soddisfare le tre equazioni 



(2) 



~òu 2 1u 3 





~òu 3 



~òU 2 



H 3 



V - <J V — i 



~òUo ~òU 3 



Ì) 3 H 2 



1 



DE 3 



ÌM 3 ' 



1 





~ÒU 3 l)Ui 



~H 3 





Hi 



~ÒU 3 ÌUi 



Ì> 2 H 3 



1 



3.H, 



IH, 



1 



7)H 2 7)H 3 



Ora, se indichiamo con k^k 2 ,k 3 le tre curvature principali nelle ri- 

 spettive giaciture delle superficie coordinate u ì = cost , w 2 = cost , w 3 = eost,. 

 queste si esprimono, per gli altri tre simboli di Riemann, colle forinole 



,. (23,23) (31 , 31) (12,12) 



K\ TI 2 TT2 1 2 T72 TT2 1 ™3 



HI HI 1 1 HI H? ' 3 H?H| ' 

 che, sviluppate, si scrivono 



^ 2 \H 2 DM 2 / 1 7w 3 \H 3 i>u 3 ì 1 Hf à«i itti 1 



' ) ìw 3 \H 3 D^ 3 / Dui \H, 7)Mi ' H| 7)w 2 7W 2 ' ^ 31 



IL ìL±\ _i_ _L_ / J_ 2li\ , 1 ì>H 2 



\Hi ^ '"N^U* W^Hf ^ 3 ìu 3 +^ tìltì2 - u - 



Supposto adunque che k x , & 2 , 7c 3 siano tre costanti date, il nostro pro- 

 blema consiste nell'esaminare se il sistema differenziale, formato dalle sei 

 equazioni (2), (3) per le tre funzioni incognite Hj , H 2 , H 3 di u x , u t , u 3 , 

 ammette soluzioni, e nel trovarne le soluzioni più generali. 



E qui escluderemo il caso ben noto in cui le tre costanti ki siano 

 eguali, perchè allora lo spazio è a curvatura di Riemann costante. Allora 

 le equazioni (2), (3) formano un sistema completamente integrabile, come 

 confermeremo fra breve, e servono a determinare tutti i sistemi tripli orto- 



