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gonali dello spazio, il triedro delle direzioni principali essendo, in questo 

 caso, affatto indeterminato. 



3. Per compiere più simmetricamente i calcoli, introduciamo le sei 

 rotazioni (Darboux) 



1 ìH s 



(a) 



tir l)Ur 



dopo di che le (2) assumono la forma 



!>Ut 



= Prt §t$ 



(r=M, 



dove con r ,s , t si indica una qualunque permutazione degli indici 1,2,3, 

 e le (2) diventano 



~ÒU S 



+ ftr ft, + £ t H r H, = 0 



Debbiamo allora esaminare il sistema differenziale costituito dalle 15 equa- 

 zioni (a), (b), (c) per le 9 funzioni incognite H r ,/? A , , e per questo comin- 

 ciamo a dedurne delle ulteriori conseguenze differenziali. Si derivi la (c) 

 rispetto ad u t e vi si sottragga la (b) derivata rispetto ad u r \ riducendo, 

 coll'aver riguardo alle (a), (b), (e) stesse, troviamo 



{k t - K) §- r = [Jet - £ s ) = 0 : 



tir ti. 



ossia, scrivendo per disteso, le tre relazioni 



(4) 



(k 3 -k l )^=(k 2 -k 3 )^- 



H, 



H 3 



§21 



(k 2 — k 3 ) -=r = (k, — k t ) x 



ì± 3 t± 1 



Si osservi che nel caso degli spazi a curvatura riemanniana costante 

 (#x = k 2 = k 3 ), ed in questo soltanto, le (4) sono identicamente soddisfatte; 

 ed il sistema è chiuso e completamente integrabile, come già sopra si è 

 detto. 



4. Cominciamo dal considerare il caso precisamente opposto a quello 

 degli spazi a curvatura costante, quello cioè in cui si suppongano tutte e tre 

 le differenze k l — k 2 , k 2 — k 3 , k 3 — k\ diverse da zero. 



