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Se poi supponiamo k x -j- k 2 '= 2k 3 e <P 1 <P 2 =^0, dalle (10) abbiamo 

 k\ =- ki k 3 , k\ = k x k 3 ; 



e due # sarebbero eguali, contro l' ipotesi. 



Concludiamo quindi che, oltre <t> 3 , sarà nulla anche <P X o <P 2 Suppo- 

 niamo p. es. <2>2 = 0: nel qual caso sarà certamente CP, =4= 0, altrimenti, 

 per le (7*), avremmo # 1 = ,& 2 = £ 3 = 0, e lo spazio sarebbe euclideo. Ora 

 dalle (10i), essendo <2> 2 = 0 , d> x =f= 0, segue 



(11) kì = k 2 k 3 : 



cioè /a curvatura principale k x è media proporzionale fra le altre due. 



Osserviamo ora che, perla (9), k 3 è certamente negativa; indi anche 

 k 2 per la (11). Indicando adunque con a , b due costanti diseguali non nulle 

 (positive o negative), possiamo porre 



ki = — ab , k z = —b 2 , k 3 = — a 2 . 



Per la prima delle (6) — - = 0, cioè B x dipende solo da u x : sicché, 



^ u% 



cangiando questo parametro, possiamo fare H! = l. Dovendo poi annullarsi, 

 per la (9), 



a 2 {b — a) 2 m — a 2 , 



avremo <t> i = — T~ — , e cangiando eventualmente i segni di a, b, pos- 

 siamo prendere 



•, 1 



b — a 



Resta solo da soddisfare con H 2 , H 3 alle equazioni 



^H 2 DH 3 ^H 3 



= ahi* , = ^H 3 , = 0, 



TWi 7)^2 



che integrate, e disponendo dei parametri & 2 , w 3 , dànno in fine 



Hi = 1 , H 2 = , H 3 = e bu > ; 



e viceversa, con questi valori di , H 2 , H 3 , tutte le nostre condizioni 

 sono soddisfatte. - 



Concludiamo adunque: 



Se le tre curvature principali dello spazio curvo normale sono 

 costanti e disegnali, una di esse k x è media proporzionale fra le altre 

 <due, e al ds 2 si può dare la forma 



ds 2 = du\ + e iaUi dui + e 26 " 1 dui , 



