Le ultime due, combinate colle (13), diventano 



1 = -(' ! + «. 



e dimostrano che si ha 



X 2 = — le» — cost. 



Supposto, dapprima, che le due curvature eguali k 2 = k z non siano nulle,, 

 e per ciò anche X sia una costante non nulla, paragonando le (13) con le 

 (13*), viene 



§ZZ = §3Ì = 0 



e inoltre 



1)U Z Ì)U 9 . 



^2 TI ì ^ 3 TT 1 



~ÒUl L)Ul 



Integrando e disponendo dei parametri u x , u z , u 3 , abbiamo 

 Hi = 1 . H, = e XM » , H 3 = e~ Xu \ , 



ciò che è soltanto un caso particolare della forma (I) del ds 2 , corrispon- 

 dente al supporre 



a == — b = X . 



8. Resta solo da considerare il caso in cui e X siano nulli: 



nel qual caso, per le (13), (13*), H 2 , H 3 e /? 23 , /? 32 sono indipendenti da u x , 

 e si hanno inoltre, come condizioni necessarie e sufficienti, le tre 



i w ^H 3 ff TT 



\ "T P32Jtl 3 , — P2 3 xl2 



+ ^_|_& iH2 H 3 = 0. 



~òu 3 ~òu s 



In altri termini, H 2 , H 3 sono assoggettate, come funzioni di Ui , w 3 , 

 unicamente alla condizione 



1 ( D / 1 DH 3 \ 7> / 1 

 H 2 H 3 \ ~òui \H 2 ~du 2 / 1ìu 3 \H 3 ~òu 3 



la quale esprime che la forma differenziale HJ du\ -\~ H| dui deve avere la 

 curvatura costante = k } . E poiché in questo caso, avendosi # 2 = k z , ogni 



Kendiconti. 1916, Voi. XXV, 1° Sem. 10 



