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direzione sulle superficie u x = cost è principale, potremo cangiare il sistema 

 coordinato ortogonale (u 2 , u 3 ) così da ridurre la forma 



Hldul-\-H.ldul 



alla forma tipica del quadrato dell'elemento lineare della sfera o della pseudo- 

 sfera, secondo che k^ > 0 o ki <C 0. Ponendo nel primo caso k y = a 2 , nel 

 secondo k x — — a 2 , ed essendo il ds 2 dello spazio potrà ridursi 



all'una o all'altra delle due forme 



ds 2 = dui -f- dui -\- sen 2 (au 2 ) dui 

 ds 2 = dui + dui + e 2au "~ dui ■ 



Come risultato rinaie dei nostri calcoli abbiamo dunque la proposizione 

 seguente : 



Esistono, oltre gli spasi a curvatura costante, tre soli tipi di 

 spazi normali a tre dimensioni colle curvature principali costanti, e 

 questi sono definiti dalle tre rispettive espressioni pel ds 2 



(I) ds* = du\ + e 2oUl dui + e ìbUl dui 



(II) ds 2 = dui -f- du 2 2 + sen 2 {au 2 ) dui 



(III) ds 2 = dui + dui + e 2au "- dui > 



con a,b costanti diseguali, non nulle. Le curvature principali ki,k 2 ,k 3 

 hanno ordinatamente i valori 



ki == — ab , k 2 = — b 2 , k % = — a 2 nel caso (I) 

 k 1= a 2 , k 2 = k 3 = 0 » (II) 



ki=— a 2 , yfc 2 = /f 3 = 0 » (III). 



Queste forme del ds 2 sono ben note, dalle mie ricerche citate al n. 1, 

 come appartenenti a spazi con un grappo continuo e transitivo di movi- 

 menti. Questo è un Gr 3 nel caso (I). ed è invece un G 4 sistatico nei casi 

 (II) e (III). 



