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a w(E e ) e che si proiettano ortogonalmente su (a , b) in un insieme I s di 

 misura > (b — a) — e (perchè il complementare dell' insieme detto sulla 

 curva ha misura <* e si proietta in un insieme di misura <!*). Pari- 

 menti ai punti di E n2) corrispondono sulla G np dei punti che, pvoiettati or- 

 togonalmente su (a , b), dànno un insieme l„ p di misura {b — a) — 4e 

 (perchè il complementare dell'insieme detto sulla curva ha misura 



< lf Ì) <4f 6 S * P ro * e ^ a su ( a ' ^) ^ n UD i ns i eme di misura <C4f). 

 Sia \[ l'insieme limite- completo della successione di insiemi I„, , I„ a , ... l np , ... 

 la cui misura, secondo un teorema dovuto al Borei, è ^> (b — a) — 4t , 

 e Ij' la parte comune a questo I\ , a I e , all'insieme dei punti nei quali 

 esistono finite tutte le u' n (x) (n == Ò , 1 , 2 , ...) e a quello ove la successione 

 delle u' n {x) converge. È m(\'i) > (b — a) — 5s. Consideriamo un punto x 

 di Ié'. Questo x appartiene ad un'infinità di insiemi l„ p : I„, , I„r , ....I,./ , 



in' 



Indichiamo con P , il punto (x , u ,{x)) della C , , con P quello 

 n v n p n p 



{n'j (n') 

 (x,u(x)) della C; con P p quello della C che corrisponde a P , p . 



n p 



Siccome su E £ la tangente alla C varia con continuità, possiamo dire 

 che, per tutti i punti della C abbastanza vicini a P , e corrispendenti 

 a punti di E s , la u' esiste finita, e differisce da u'(x) per quanto poco 

 si vuole; preso dunque ry > 0, è possibile di determinare un a in modo 

 che sia \u'(x) — u'(xi)\<^t] se x 1 appartiene a I s ed è \x — Xi\<^a. 

 Per la convergenza della G n ' p alla C, si può determinare un n tale che, 



_ (»') ' (n'j in') 



per ogni n' n ^>n la distanza fra P p e P , sia < a : e poiché P , al 



n p p 



crescere indefinito di ri p tende a P , si ha che, per ogni n' p maggiore di un 



(n') 



certo n^>n, la distanza fra P e P è < e Pertanto, detta x n < l'ascissa 



p 



W) 



di P p , è |a? — a? , | < cr e perciò \u'(x) — u'(x OK 7 ?- D'altra parte, 

 n P S 



{n') (n'J 

 poiché x appartiene al,, la tangente t , alla C , , nel punto P , fa 



con quella t ^ alla C in P* p> un angolo < ~ : dunque la differenza 



nix ,) — u' ,{x) tende a zero al crescere di ri e si ha, per ogni n' > di un 



x Tip p r ° p < 



certo N, \u'(x) — u , (x) \ <C 2?? . Poiché in x la u' n {x) converge per 



n p 



n-> oo , è lim u' n (x) = u\x). Avendo 1' insieme Ié' una misura > (b — a) — 5<? , 



n •> 00 



dove s è arbitrario, l' uguaglianza precedente resta dimostrata quasi dap- 

 pertutto. 



