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6. Sia F(a: , y , z , x' ,y' , /) una funzione finita e continua per tutti i 

 valori di x,y<z. di un certo campo r, nel quale siano contenute tutte 

 le C„ , e per tutte le terne x' , y T , z soddisfacenti alla x n -j- y' 2 -\- z' 2 = 1 . 

 La F sia, inoltre, positivamente omogenea di grado 1 rispetto alle x' , y' , z'°. 

 soddisfi cioè, per ogni k ^> 0 , all'uguaglianza 



¥(x ,y,z, kx' , ky' \ks') = k¥(sc , y , z , x' ., y T \ *') . 



Si ha immediatamente 



ic„ 



F(*,y,4,«r,/_, /) ds„ = I L F(/' )i (s) , 0 w (s) , 7f w („) , /'^(s) , g' n {s) , /^(s) ) ds . 



. Dal n. 4 risulta che /'^(s) , g' n (s) , /^(s) tendono in misura a f' 0 (s) ,. 

 #o(s) , Aó(s) , e poiché F(/ n (s) . ^«(s) , ...) resta, qualunque siara, inferiore 

 in modulo ad un numero fisso, si ha, per un teorema sull'integrazione per 

 serie, dovuto al Lebesgue, 



lim F ds tl = F ds . 



10. c 



7. Si consideri la successione di funzioni u } (x) , u z (x) , ... , u n (x) , ... 

 dell'enunciato b) dell'introduzione. Le u n (x) risultano (almeno da un certo 

 punto in poi ; e senza restrizione possiamo suppore che ciò sia per ogni n) 

 a variazione limitata e quindi prive di punti di discontinuità di 2 a specie. 

 Indich iamo con G n la curva ottenuta aggiungendo ai punti di y — u n {x) i 

 segmenti, paralleli all'asse delle y, aventi per estremi i punti (x . u„{x:--Q) ) , 

 (x , u n (x)) e (x , u n (x)) , (x , u n {x-\-Q)) . Questa C n risulta continua e retti- 

 ficabile e di lunghezza, L„, uguale a quella della y=u n {x). Lo stesso dicasi 

 per la curva C = C 0 corrispondente a y = u(x) = u 0 (x). Per le ipotesi fatte, 

 nell'enunciato ricordato, e per un noto teorema di Hilbert sull'esistenza di una 

 curva limite per le successioni di curve inferiori in lunghezza ad un numero 

 fisso, le C n convergono alle C, e le tangenti t n di C„ convergono perciò in 

 misura a quelle t di C. Riprendiamo la rappresentazione (1) delle curve C n 

 (» = 0 , 1 , 2 . ...) e indichiamo con E e un insieme di punti di (0,L), di 

 misura > L — e, sul quale la tangente alla C esiste e varia con conti- 

 nuità. Sia n p il primo intero positivo >> n p _ x (') per il quale è L np < 2L 



e m(E„ p ) > m(E e ) — ^- , dove E„ indica il componente di E e nei cui 



punti la tangenfe t np alla C MjP esiste e forma, con la corrispondente tan- 



gente t alla C, un angolo < — . Ai punti di E e corrispondono sulla C dei 



punti che formano un insieme di misura (contata sulla curva stessa) uguale 



(') Per p= 1 questa condizione si ometterà. 



