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y = y n (s„) , * == s n {s„) , (0 3i s„ < L„) della C„ in funzione della lun- 

 ghezza s n del suo arco A„P„. 



Se poniamo s = — s„, abbiamo, per tutte le G n e per la C == C 0 , la 

 rappresentazione analitica simultanea 



.(1) x - f n (s) , y === g n (s) , z = h n (s) , (0 < s < L) , («==0,1,2,...); 



e, ad ogni segmento di (0 , L) di ampiezza ó , corrisponde su C„ un arco 

 di lunghezza à n = T n ó ; e viceversa, ad ogni arco di G n di ampiezza ó n , 



corrisponde su (0 , L) un segmento di lunghezza ó = ó n . Data la Conver- 

 tii 



genza della C„ verso la C , le funzioni f n , g n , ft n convergono uniformemente 

 verso f 0 , g 0 ,h 0 , rispettivamente ; e il punto P n di C n , corrispondente al 

 valore s del parametro, tende a quello P di C, relativo allo stesso s. In- 

 dichiamo con E l'insieme, di misura nulla, comprendente tutti i punti 

 di (0 , L) per i quali manca la tangente ad almeno una delle curve G n 

 (n = 0 , 1 , 2 , ...). Consideriamo poi il poligono tv, inscritto in C, che è stato 

 determinato nel n. 3, in corrispondenza ad s, e diciamo P° = A , P (1) , ... , 

 P (ì>) = B, i suoi vertici consecutivi. Ad essi corrispondono su C„ i punti 

 i r — 0 , 1 , ... p), vertici di un poligono 7i n inscritto in C„ . Sce- 

 gliamo n in modo che, per ogni n > n , sia : 1 °) a( P (r - U P (r) . P^ _1) P^)< s * 



(r = 1 , 2 , ... p) ; 2°) L„ — n n < |^ (ricordiamo che è L — zr < ^ J ; 

 3°) jL„ — L|<^-. Fissato un n^>n, si considerino gli intervalli J ( m , 



a 



della proposizione del n. 2, relativi alla C, ed anche quelli relativi alla G n ; 

 a questi ultimi corrispondono su (0 , L) degli intervalli di lunghezza com- 

 plessiva <^ e <C 2«, i quali si possono riunire con quelli relativi a C in una 



unica successione S w (di misura <CBs). Detto s un punto esterno a tutti gli in- 

 tervalli di S w e all'insieme E, le tangenti t e l n , nei punti P e P n delle C 

 e C„, ad esso corrispondenti, formeranno fra loro (per la proposizione del 

 n. 2 e per la a(P<^»> P ( >"> . P'f- 1 » P£>) < e) un angolo < Se . Siccome « è 

 arbitrario, e m(E) = 0 ,m(S n ) <^8e , e poiché ciò vale per ogni n^>n, è 

 dimostrato che le tangenti t„ tendono in misura alle tangenti t . 



5. Viceversa, si ha facilmente che, supposta sempre la G n tendente 

 alla C, se le lunghezze della G n e della G sono finite e se la tangente t n 

 alla G n converge in misura a quella t della G — essendo t n e t corri' 

 spondenti secondo la rappresentazione (1) — allora la lunghezza della G n 

 tende a quella della G. 



