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pure L — n . Si ha dimque ^ J t <^~L — tv -\- (tt[ -f- n' 2 ) <4 — . Que- 



sta disuguaglianza vale qualunque sia il gruppo //, , , ... , 4 q scelto fra 



p jj. 



tutti gli Jm ; vale quindi anche l'altra ^ y — 4 — z — . ed è per- 



r=ì m 



p_ - . £, TI 



ciò ^ ^ /lm — 12 — - — . Se ne conclude, se i vertici di n sono scelti in 



e 3 v — ,• 



modo da rendere L — n <^ — - , che è ^^_^m<Cs[ e si può enunciare la 



proposizione : fatta eccezione al più per i punti di C appartenenti all'in- 

 finità numerabile degli archi J'Q , di misura totale <C £ » V er °9 n i altro 

 punto P di C naie la seguente proprietà: qualunque sia P', appartenente 



allo stesso arco P<'-»P<>"> del quale fa parte P. si ha «(P (r -° P Cr) , PP')<>. 

 dove e è un numero positivo 1 . arbitrariamente scelto, e P (0) = A , 

 P U) , P <:!) , ... P ( ^ ) = B sono i vertici di un poligono n , inscritto in C, 



tale che sia L — n <^ — . 



1 di 



3. Detti P . P' , P" tre punti qualsiasi di C, si ha allora 



Mass. Lim. a(PP' . PP") < 2* , 

 p' -> p , p"-> p 



eccettuati al più i punti P appartenenti agli intervalli J^, ed eccettuati 

 anche i p -4- .1 vertici di n. 



Si stabilisca che il poligono n sia quello che, fra i poligoni corrispon- 

 denti a divisioni di C in archi di ugual lunghezza e soddisfacenti alla 



è 3 



L — n <^ -- . ha il minor numero di lati. Sostituendo, ad £ , via via 



1 u 



£ £ £ — 



— , — e riunendo tutti gli intervalli J ( £ corrispondenti ai di- 



versi valori di p, si ha una successione di intervalli di lunghezza comples- 

 siva <C2c; ed esclusi i punti di questi intervalli ed i punti dell'insieme 

 numerabile formato dai vertici di tutti i poligoni n costruiti, esiste per 

 tutti gli altri la tangente alla C. Siccome £ è arbitrario, il teorema del 

 Lebesgue è dimostrato. 



4. Consideriamo ora la successione C, , C 2 , ... , G m , ... di curve con- 

 tinue, rettificabili, tendenti alla C, pure continua e rettificabile ;' e suppo- 

 niamo che la lunghezza L„ della G„ tenda a quella L della C. Indicata 

 con s la lunghezza dell'arco della C compreso fra il primo estremo A ed 

 un punto qualunque P della curva stessa, sia x = x(s) , y = y{s) , z = z(s), 

 (Ojfis-^L), la rappresentazione analitica della C in funzione del para- 

 metro s. Analogamente, avremo la rappresentazione analitica x = x»(s n ), 



